Attraktoren

Wie unterscheidet sich das Einfache vom komplexen? Die herkömmliche Antwort verweist auf eine Hierarchie. Am einen Extrem finden wir Objekte wie das Pendel, das einfachen, deterministischen Gesetzen gehorcht, am anderen die Menschen und ihre Gesellschaften. Zwischen diesen beiden Polen können wir uns eine Hierarchie der »komplexifizierung« vorstellen, des Hervortretens des komplexen aus dem Einfachen.

Doch in Wirklichkeit ist die Situation sehr viel verwickelter: Das Einfache und das komplexe existieren nebeneinander, ohne hierarchisch verknüpft zu sein. Hinter der scheinbaren Einfachheit des Pendels kann sich eine ganze Welt der komplexität verbergen. Im Hinblick auf die menschlichen Gesellschaften kennen wir einerseits den Begriff der »Regierung«, der die Möglichkeit der Vorhersage und der Kontrolle andeutet, andererseits den Begriff der »Geschichte«, der mit Einschränkungen der Vorhersage und Kontrolle verbunden ist.

Als Wegweiser bei unserer Erkundung des Verhältnisses zwischen dem Einfachen und dem komplexen soll uns der Begriff des »Attraktors« dienen; darunter verstehen wir den Zustand oder das Verhalten, auf das die Entwicklung eines dissipativen Systems zusteuert. Physik und Mathematik haben diesem Begriff in jüngster Zeit eine veränderte Bedeutung gegeben. In der Vergangenheit glaubte man, alle Systeme, deren Entwicklung von einem Attraktor bestimmt wird, seien gleich. Heute verbindet sich mit diesem Begriff dagegen die Vielfalt der dissipativen Systeme⁴⁰.

Ein ideales Pendel ohne Reibung besitzt keinen Attraktor und setzt seine Schwingung unbegrenzt fort. Die Bewegung eines realen Pendels, das ein dissipatives System mit Reibung ist, kommt dagegen irgendwann in seiner Gleichgewichtslage zum Stillstand. Die Gleichgewichtslage ist ein Attraktor: Wir wissen, daß das Pendel, unabhängig von seiner Anfangsgeschwindigkeit und seiner Anfangsposition, nach hinreichend langer Zeit in seiner Gleichgewichtslage zur Ruhe kommen wird. Auch der Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts ist ein Attraktor: Die Entwicklung der Milliarden und Abermilliarden Teilchen eines abgeschlossenen Systems strebt diesem Gleichgewichtszustand zu, dessen Beschreibung nur von wenigen Parametern abhängt, etwa der Temperatur und dem Druck.

Das ideale Pendel bietet uns ein Beispiel »struktureller Instabilität«. Ohne Reibung gibt es keinen Attraktor, doch die geringste Reibung verändert radikal die Bewegungsweise des Pendels und führt einen Attraktor ein. Im 11.Kapitel werden wir ein anderes Beispiel »struktureller Instabilität« erörtern und zeigen, warum der »Urknall« strukturell instabil ist.

Oft erweist es sich als hilfreich, uns unsere Konzepte geometrisch zu vergegenwärtigen. Um uns den Attraktor geometrisch zu vergegenwärtigen, führen wir einen Raum ein, der ebenso viele Dimensionen besitzt, wie Variable benötigt werden, um die zeitliche Entwicklung des Systems zu beschreiben. Diese Variablen können unterschiedlicher Art sein - es können die Koordinaten des Pendels oder die Temperatur eines Gases sein. In diesem Raum entspricht der Gleichgewichtszustand dissipativer Systeme definitionsgemäß einem »punktförmigen« Attraktor. Dies gilt auch für die stationären Zustände von Systemen in der Nähe des thermodynamischen Gleichgewichts, die dem Theorem der minimalen Entropieerzeugung gehorchen. In all diesen Fällen kann die Entwicklung des Systems ungeachtet seines anfänglichen Zustands unter gegebenen Randbedingungen durch eine Trajektorie dargestellt werden, die von dem Punkt, der den Anfangszustand repräsentiert, zu dem Attraktor führt. An diesem Punkt enden also alle Trajektorien in dem Raum.

Nicht alle dissipativen Systeme führen zu einem einzigen Endpunkt. So entwickelt sich die gleichgewichtsferne dissipative Struktur, die wir »chemische Uhr« nennen, nicht auf einen Zustand hin, sondern auf ein stabiles periodisches Verhalten. Dies ist gleichbedeutend mit einer Erweiterung des Attraktorbegriffs: Der Attraktor ist nicht mehr ein Punkt, sondern eine Linie, die die periodische Veränderung der chemischen Konzentration in dem System beschreibt Auch in diesem Fall entwickelt sich das System unabhängig von den Anfangshedingungen auf diesen »Grenzzyklus« hin.

Abb. 4.1 Punktförmiger Attraktorzustand, charakterisiert durch zwei Unabhängige Variablen X1 und X2: Mle Entwicklungen ähnlicher Systeme mit ähnlichen Randbedingungen führen zu dem gleichen Zustand. (a) zeigt zwei mögliche Entwicklungen in Abhängigkeit von der zeitlichen Entwicklung einer der Variablen. (b) zeigt zwei mögliche Entwicklungen in dem Raum, der mit den beiden unabhängigen Variablen konstruiert ist.

Ein System, das einen Grenzzyklus aufweist, ist noch immer ein vorhersehbares System, das sich auf einfache Weise beschreiben läßt. Aber in dieser Einfachheit steckt etwas Unerwartetes. Wir können uns den chemischen Gleichgewichtszustand vorstellen, können uns vorstellen, wie eine Vielzahl von chemischen Prozessen sich in ihren Wirkungen gegenseitig kompensieren, so wie bei einer Bevölkerung im demographischen Gleichgewicht die Todesfälle die Geburten kompensieren. Daß aber Milliarden und Abermilliarden von Molekülen, die nur durch Stöße miteinander wechselwirken, dennoch »gemeinsam« agieren, derart, daß das Reaktionsmedium periodisch seine Farbe wechselt - das entzieht sich unserem Vorstellungsvermögen. Und dennoch beobachten wir genau das bei den chemischen Uhren: Wenn die entsprechenden Bedingungen gegeben sind, sehen wir, wie die Flüssigkeit mit einer Periode von etwa einer Minute erst rot, dann blau, dann wieder rot wird. Wir haben es hier mit einer spektakulären Manifestation der im vorigen Kapitel erörterten langreichweitigen Korrelationen zu tun. Die berühmteste dieser »Uhren« ist die Belusow-Zhabotinsky-Reaktion. Wie sie im einzelnen abläuft, braucht uns hier nicht zu interessieren; sie ist aber ein hervorragendes Beispiel nichtlinearer katalytischer Reaktionen, die fern vom Gleichgewicht zu Verzweigungen führen.

Abb. 4.2 Der in Abb. 4.1(b) dargestellte Grenzzyklus in dem Raum, der aus den unabhängigen Variablen des Systems X und Y konstruiert ist: Alle Entwicklungen führen zu dem gleichen periodischen Verhalten.

Es kommt vor, daß wir bei der graphischen Darstellung von Attraktoren nicht einen Punkt oder eine Gerade erhalten, sondern eine Fläche oder einen Körper. Überraschenderweise entdeckte man dann jedoch Attraktoren, die nicht einem dieser einfachen geometrischen Gebilde entsprechen, die sogenannten seltsamen Attraktoren. Die seltsamen Attraktoren sind, anders als die Gerade oder die Fläche, nicht durch ganzzahlige Dimensionen gekennzeichnet, sondern durch gebrochene Dimensionen. Sie sind das, was man seit Benoit Mandelbrot, der diese wichtige neue Klasse geometrischer Gebilde entdeckte, als fraktale Gebilde bezeichnet⁴¹.

Wie kann eine Dimension gebrochen sein? Generell definiert eine Dimension ein geometrisches Gebilde durch die Anzahl der Variablen, die nötig sind, um einen seiner Punkte zu bestimmen. So ist zur Bestimmung eines Punktes auf einer Geraden eine einzige Zahl nötig, auf einer Fläche sind es zwei, in einem Körper sind es drei und so weiter. Es gibt jedoch abstraktere Arten, eine Dimension zu definieren. Nehmen wir zum Beispiel eine Gerade, deren Länge einen Zentimeter beträgt. Wie viele Abschnitte mit einer Länge von cm sind nötig, um diese Gerade zu überdecken? Natürlich zehn. Und wie viele Quadrate mit einer Seitenlänge von von cm sind nötig, um eine Fläche mit einer Seitenlänge von einem Zentimeter zu überdecken? 100. Und bei einem Würfel beträgt die entsprechende Zahl 1000. Die Dimension tritt hier, wie man sieht, im Exponenten auf: . Diese Reihe von Exponenten finden wir immer; gleichgültig, wie groß wir die Länge des Abschnitts, der Quadratseite oder der Würfelkante wählen, die uns als Einheiten der Überdeckung dienen. Ohne hier auf Einzelheiten einzugehen, können wir sagen: Wenn man ein geometrisches Gebilde durch die Mindestanzahl von »Zellen« kennzeichnet, die nötig sind, um es zu überdecken, erscheint die Zahl d, die die Dimension angibt, als Potenz in der Beziehung zwischen der Anzahl N dieser Zellen und ihrer Abmessung u. Man kann aufgrund der einfachen Beispiele, die wir erörtert haben, schreiben: .

Bis hierher könnte es scheinen, als hätten wir nur eine einfache Idee kompliziert augedrückt. Wenn wir nun aber geometrische Gebilde wie die Gerade, das Quadrat und den Würfel verlassen und uns einem fraktalen Gebilde zuwenden, erkennen wir die Fruchtbarkeit dieser neuen Definition. Ein klassisches Beispiel eines Fraktals ist das »Cantorsche Diskontinuum«. Betrachten wir einen Abschnitt von der Länge 1. Zerlegen wir ihn in drei gleiche Teile und nehmen wir den mittleren Teil heraus. Diese Operation nehmen wir nun erneut vor, indem wir jeden der beiden Abschnitte durch 3 teilen und den Mittelteil entfernen. Der Algorithmus kann unbegrenzt wiederholt werden und führt zur Konstruktion einer unendlichen Menge von »Mikroabschnitten«, die man nicht mehr durch eine Länge beschreiben kann. Dennoch erlaubt uns die von uns eingeführte Definition, ihr eine Dimension zuzuschreiben. Es liegt auf der Hand, daß nach der ersten Operation zwei Abschnitte von der Länge nötig sind, um das entstandene geometrische Gebilde zu überdecken. Nach der zweiten sind vier von der Länge nötig, nach der dritten acht von der Länge Nach der n-ten Operation ist die Anzahl N der erforderlichen Abschnitte gleich und die Länge u dieser Abschnitte ist gleich . Die Dimension d des Cantorschen Diskontinuums ist somit, wenn N gegen Unendlich und u gegen Null strebt, definiert durch die Beziehung ; daraus folgt , also ungefähr 0,65. Dieser Menge, die nicht mehr als aus eindimensionalen Abschnitten zusammengesetzt verstanden werden kann, entspricht somit eine gebrochene Dimension, die zwischen 0, der Dimension des Punktes, und 1, der Dimension der Geraden, liegt.

Abb 4.3 Cantorsches Diskontinuum (Cantor-Fraktal).

Mandelbrots Entdeckung der fraktalen Gebilde hat uns schöne neue Perspektiven auf die Welt der natürlichen Formen eröffnet. Die meisten dieser Formen sind nämlich keine regelmäßigen geometrischen Gebilde, sondern können durch eine fraktale Dimension charakterisiert werden. So ist eine Wolke⁴² weder ein Körper noch eine Fläche, sondern ein Mittelding, charakterisiert durch eine Dimension, die zwischen 2 und 3 liegt. Heute werden fraktale Algorithmen im weiten Umfang zur Erzeugung synthetischer Bilder benutzt; sie ermöglichen es, mit verblüffender Leichtigkeit und mit einer erstaunlichen »Treue« Formen zu konstruieren, denen Auge und Hand des Zeichners bislang nicht gewachsen waren.

Nach der Entdeckung von Attraktoren, die fraktale Dimensionen besitzen, kann die von den Fraktalen eröffnete neue Betrachtungsweise von den Formen auf das zeitliche Verhalten übertragen werden. Ein »fraktaler Attraktor« ist - wie das Cantorsche Diskontinuum - eine außerordentlich feingliedrige Struktur mit einem sehr komplexen zeitlichen Verhalten. Während die Existenz eines Attraktors bislang gleichbedeutend war mit Stabilität und Reproduzierbarkeit, während sie unabhängig von den Anfangsbedingungen auf die Rückkehr zum »Gleichen« hinauslief, determinieren diese neuen Attraktoren nun Verhaltensweisen, die weder vorhergesagt noch reproduziert werden können. In jedem beliebig kleinen Gebiet eines Systems, in dem sich ein fraktaler Attraktor befindet, finden wir die gleiche komplexe Struktur. Die Anfangsbedingungen mögen einander beliebig ähneln, sie führen dennoch zu divergenten Entwicklungen. Die geringste Differenz in den Anfangsbedingungen, die geringste Störung wird daher durch den Attraktor nicht gedämpft, sondern verstärkt. Der Attraktor determiniert Verhaltensweisen, die »empfindlich für die Anfangsbedingungen« sind.