Einleitung

Die Zeit ist die grundlegende Dimension unseres Daseins. Sie hat von jeher Künstler, Philosophen und Wissenschaftler fasziniert. Mit ihrer Einbeziehung in das theoretische Schema der Galileischen Physik beginnt die moderne Wissenschaft. Mit diesem Erfolg beginnt aber auch das Problem, von dem dieses Buch handelt, die Leugnung des Pfeils der Zeit¹. Die Zeit, die in den großen Gesetzen der Physik - von der klassischen Dynamik über die Relativität bis zur Quantenphysik - vorkommt, kennt keinen Unterschied zwischen Vergangenheit und Zukunft! Viele Physiker sind heute der Überzeugung, daß es auf der fundamentalen Ebene der Beschreibung keinen »Pfeil der Zeit« gibt.

Doch bei allen Erscheinungen, mit denen wir es zu tun haben, sei es in der makroskopischen Physik, der Biologie, der Geologie oder den Humanwissenschaften, haben Zukunft und Vergangenheit eine unterschiedliche Bedeutung. Der Pfeil der Zeit ist unübersehbar. Wie ergibt sich der Zeitpfeil aus dem grundlegenden theoretischen Schema der Physik? Wie kann er aus einer zeitlich symmetrischen Welt hervorgehen? Oder ist die Zeit, wie wir sie wahrnehmen, eine Illusion? Diese Fragen führen zum Paradoxon der Zeit, dem zentralen Thema dieses Buches.

Nichtphysikern mag dieses Problem merkwürdig vorkommen. Wie kann die Physik, die ja hohe experimentelle Anforderungen stellt und von einem engen Zusammenhang zwischen Theorie und Erfahrung ausgeht, den Unterschied zwischen Vergangenheit und Zukunft leugnen? Um diese Frage zu beantworten, muß man auf den ideologischen Hintergrund der Physik eingehen. Wie wir im 1.Teil dieses Buches zeigen werden, wurde das Zeitparadox erst in der zweiten Hälfte des 19.Jahrhunderts erkannt. Die Gesetze der Dynamik galten damals seit langem als Ausdruck des Ideals objektiver Erkenntnis. Da Vergangenheit und Zukunft in ihnen gleichwertig waren, wehrte man jeden Versuch, dem Pfeil der Zeit eine fundamentale Bedeutung zuzuschreiben, als einen Angriff auf das Ideal objektiver Erkenntnis ab. Damit verbannte man den Zeitpfeil in den Bereich der Phänomenologie. Den Unterschied zwischen Vergangenheit und Zukunft schaffen wir selbst durch die Näherungen, die wir in unsere Beschreibungen der Natur einführen.

Diese Auffassung ist heute nicht mehr zu halten. In den letzten Jahrzehnten ist eine neue Wissenschaft entstanden, die Physik der Nichtgleichgewichtsprozesse, mit der sich Begriffe wie Selbstorganisation und dissipative Strukturen verbinden. Vorher war der Pfeil der Zeit in der Physik durch einfache Prozesse wie Diffusion oder Viskosität aufgetreten, von denen man tatsächlich annehmen konnte, sie beruhten auf einer zeitlich reversiblen Dynamik. Das ist heute nicht mehr der Fall. Wir wissen, daß einer Fülle von neuen Phänomenen, etwa der Entstehung von Wirbeln, chemischen Oszillationen und dem Laserlicht, Irreversibilität zugrunde liegt. Sie spielt eine wichtige konstruktive Rolle. Die Entstehung von Leben ist unvorstellbar in einer Welt ohne die Kohärenz, die auf Nichtgleichgewichtsprozessen beruht. Damit wird es wissenschaftlich unhaltbar, den Pfeil der Zeit für »nur phänomenologisch« zu erklären und auf uns selbst zurückzuführen. Wir sind die Kinder des Zeitpfeils, der Evolution, und nicht seine Urheber.

Das Zeitparadox konfrontiert uns mit der zentralen Rolle der »Naturgesetze«. In der Gleichsetzung von Wissenschaft mit der Suche nach den »Naturgesetzen« muß man wohl den Urgedanken der abendländischen Wissenschaft sehen. Der Prototyp eines universalen Naturgesetzes ist das Newtonsche Gesetz, nach dem die Beschleunigung der Kraft proportional ist. Es hat zwei grundlegende Merkmale. Es ist deterministisch: Wenn wir die Anfangsbedingungen kennen, können wir die Bewegung vorhersagen. Und es ist zeitlich reversibel: Es gibt keinen Unterschied zwischen Vorhersage und rückwirkender Vorhersage (retrodiction); die Bewegung hin zu einem zukünftigen Zustand und die umgekehrte Bewegung, die von diesem Zustand aus zu den Anfangsbedingungen zurückführt, sind gleichwertig.

Newtons Gesetz bildet die Grundlage der klassischen Mechanik, das heißt der Wissenschaft der durch Trajektorien (Bewegungsbahnen) beschriebenen bewegten Materie. Seit Anfang des 20.Jahrhunderts hat sich die Physik stark erweitert Wir haben jetzt die Quantenmechanik und die Relativitätstheorie. Wie wir jedoch sehen werden, sind die Hauptmerkmale des Newtonschen Gesetzes, der Determinismus und die zeitliche Reversibilität, geblieben.

Der Begriff des »Naturgesetzes« verdient eine eingehendere Untersuchung. Wir haben uns so an ihn gewöhnt, daß er uns als trivial, als etwas Selbstverständliches erscheint. Und doch gibt es Arten der Weltbetrachtung, die ihn nicht kennen. Nach Aristoteles sind Lebewesen nicht Gesetzen unterworfen. Ihr Tun entspringt aus ihnen innewohnenden autonomen Ursachen. Jedes Wesen strebt danach, seine eigene spezifische Wahrheit zu verwirklichen. In China herrschte die Ansicht vor, daß der Kosmos sich in einer ursprünglichen Harmonie befinde, einer Art von statischem Gleichgewicht, das Natur, Gesellschaft und Himmel umfaßt. Die Idee, daß die Welt Gesetzen unterworfen sein könnte, trat nach und nach im abendländischen Denken hervor. Sie kann teilweise auf die Stoiker zurückgeführt werden, die das Schicksalhafte betonten. Eine wichtige Rolle spielte aber auch der christliche Gott, der als allmächtiger Gesetzgeber aufgefaßt wurde.

Durch Gott ist alles gegeben. Neues, Handlungsalternativen und spontane Handlungen gibt es nur aus unserer menschlichen Sicht Diese theologische Sichtweise schien durch die Entdeckung der dynamischen Bewegungsgesetze vollkommen bestätigt zu werden. Theologie und Wissenschaft stimmten überein. Leibniz schrieb.' »Augen, die so durchdringend wären wie die Gottes, könnten den gesamten Gang der Dinge im Universum, qite sunt, qnae flierint, quae mox futura trahantur (die sind, die waren und die in Zukunft geschehen werden), in der geringsten Substanz ablesen.«² Mit der Entdeckung der unwandelbaren deterministischen Gesetze der Natur kam die menschliche Erkenntnis folglich der göttlichen, zeitlosen Sicht näher.

Dieses Programm hat sich als ungeheuer erfolgreich erwiesen. Dennoch ist während der ganzen Geschichte des abendländischen Denkens immer wieder die eine Frage gestellt worden. Wie ist das Neue, das im menschlichen Leben eine so zentrale Bedeutung hat, in einer von deterministischen Gesetzen beherrschten Welt zu erklären?

Weit vor dem Anfang der modernen Wissenschaft wurde diese Frage aufgeworfen. Schon Platon hatte Wahrheit und Vernunft mit dem Zugang zum »Sein« verknüpft, der unwandelbaren Realität jenseits des »Werdens«. Das Werden, der unaufhörliche Fluß der Erscheinungen, die wir wahrnehmen, war für ihn der Bereich der bloßen Meinung. Platon war sich jedoch der Widersprüchlichkeit dieser Auffassung bewußt, bedeutete sie doch eine Herabsetzung des Lebens und des Denkens, die vom Prozeß des Werdens nicht zu trennen sind. Im Sophistes kommt er zu dem Schluß, daß wir beides brauchen, Sein und Werden.

Vor der gleichen Schwierigkeit standen die Atomisten. Damit Neues entstehen kann, führte Lukrez den »clinamen« ein, der den deterministischen Fall der Atome durch die Leere stört: »Wenn die Körper senkrecht nach unten durch die Leere bewegt werden durch ihr eigenes Gewicht, dann weichen sie zu unbestimmter Zeit und an einem unbestimmten Orte nur eben ein wenig von ihrer Bahn ab, gerade nur so viel, daß man sagen könnte, die Bewegung habe sich verändert.«³ Diese Berufung auf den clinamen ist vielfach kritisiert worden; damit werde ein fremdes, willkürliches Element in die atomistische Beschreibung eingeführt. Doch 2000Jahre später lesen wir bei Einstein im Zusammenhang mit der spontanen Emission von Licht durch angeregte Atome eine ähnliche Äußerung: »Die Zeit und die Richtung der elementaren Prozesse sind vom Zufall bestimmt.«⁴ Eine höchst unerwartete Parallele, wenn wir bedenken, daß zwischen Lukrez und Einstein das steht, was vermutlich die größte Umwälzung in unserem Verhältnis zur Natur gebracht hat - die Geburt der modernen Wissenschaft.

Der »clinamen« und die spontane Emission von Licht sind Ereignisse, die einer probabilistischen Beschreibung entsprechen. Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten werden gefordert von einer evolutionären Beschreibung, sei es die der Darwinschen Evolution oder die der menschlichen Geschichte. Ereignisse sind, wie wir noch sehen werden, auch mit dem thermodynamischen Pfeil der Zeit im Bereich der gleichgewichtsfernen Prozesse verbunden. Können wir über Lukrez und Einstein, die den deterministischen Gesetzen Ereignisse »hinzufügten«, hinausgehen? Können wir den Begriff des physikalischen Gesetzes dahin gehend abändern, daß Irreversibilität, Ereignisse und der Pfeil der Zeit zu Bestandteilen unserer fundamentalen Beschreibung der Natur werden?

Das würde bedeuten, daß wir die Naturgesetze grundlegend anders formulieren müßten. Dank der bemerkenswerten Fortschritte, die mit den Begriffen der Instabilität und des Chaos zusammenhängen, ist das jetzt möglich geworden.

Betrachten wir zunächst die klassische Dynamik. Es schien, als seien alle durch Newtons Gesetz beschriebenen Systeme gleich. Natürlich wußte jeder, daß die Trajektorie eines fallenden Steins leichter zu berechnen ist als die Trajektorie eines »Drei-Körper-Systems«, wie es zum Beispiel Sonne, Erde und Jupiter darstellen. Man sah darin jedoch ein rein technisches Problem, eine bloße Rechenaufgabe. Daß dies nicht zutrifft, wissen wir seit einigen Jahrzehnten. Es sind nicht alle dynamischen Systeme gleich. Es gibt stabile dynamische Systeme und instabile. Ein reibungsloses Pendel ist stabil, da geringe Störungen nur geringfügige Folgen haben, doch bei einer sehr großen Klasse, ja sogar bei der großen Mehrheit aller dynamischen Systeme werden geringe Störungen verstärkt. Ein extremer Fall sind »chaotische Systeme«, wo die Beschreibung durch Trajektorien versagt, da Trajektorien, die anfangs beliebig eng benachbart sind, mit der Zeit exponentiell voneinander abweichen.

Wir kommen schon im 4.Kapitel auf das Chaos zu sprechen, da es auch bei makroskopischen irreversiblen Prozessen auftritt. Wir gehen dort auf die »negativen« Aspekte des Chaos ein, auf die Tatsache, daß eindeutige Vorhersagen wegen der exponentiellen Divergenz benachbarter Trajektorien unmöglich sind. Dies entspricht der »Empfindlichkeit gegenüber den Anfangsbedingungen«, wie das Chaos gewöhnlich definiert wird. Chaos beruht nicht nur auf Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen. Wie wir sehen werden, können auch Resonanzen - in der klassischen wie in der Quantenmechanik - zu Chaos führen. Das Chaos hat - und das ist ein noch wichtigeres neues Element - aber auch »positive« Aspekte. Wenn Trajektorien zu einer allzu starken Idealisierung werden, müssen wir auf eine probabilistische Beschreibung durch ein Ensemble von Trajektorien zurückgreifen. Eine solche Beschreibung ist nichts Neues - mit ihrer Hilfe gingen Gibbs und Einstein an die statistische Physik heran. Jetzt kommt aber der wesentliche Punkt: Die probabilistische Beschreibung, die wir für chaotische Systeme ableiten, ist irreduzibel, sie kann nicht auf einzelne Trajektorien angewandt werden. Dies ergibt sich zwingend aus der Verknüpfung des Chaos mit der modernen Funktionalanalysis. Außerdem spielen Vergangenheit und Zukunft in dieser irreduziblen probabilistischen Darstellung eine unterschiedliche Rolle. Das Chaos führt zur Einbeziehung des Pfeils der Zeit in die grundlegende dynamische Beschreibung.

Das Chaos bringt die Auflösung des Zeitparadoxons, aber damit nicht genug. Es führt obendrein die Wahrscheinlichkeit in die klassische Dynamik ein, die doch der Prototyp einer deterministischen Wissenschaft ist. Wahrscheinlichkeit ist hier nicht ein Resultat von Unwissenheit, sondern der unumgängliche Ausdruck von Chaos. Das führt wiederum zu einer neuen Definition des Chaos. Wir haben gezeigt, daß das Chaos, wie es üblicherweise definiert wird, zu einer irreduziblen probabilistischen Beschreibung führt. Jetzt kehren wir die Behauptung um. Alle Systeme, die einer irreduziblen probabilistischen Beschreibung gehorchen, bezeichnen wir definitionsgemäß als chaotisch. Derartige Systeme können daher nicht durch einzelne Trajektorien (bzw. einzelne Wellenfunktionen in der Quantenmechanik) beschrieben werden, sondern nur durch Ansammlungen (Bündel) von Trajektorien (oder Ensembles).

Unter operationalem Aspekt wird der Bereich des Chaos also enorm ausgeweitet, da er große Klassen von klassischen und Quantensystemen umfaßt, genau genommen alle Systeme, die der fundamentalen Naturbeschreibung durch wechselwirkende Felder im heutigen Sinne entsprechen. Diese starke Ausweitung des Chaosbegriffs gestattet die Feststellung, daß wir zu einer neuen Formulierung der physikalischen Gesetze kommen müssen. Zwei Formulierungen der physikalischen Gesetze gab es bereits; die eine beruhte auf der Untersuchung von Trajektorien beziehungsweise Wellenfunktionen, die andere auf der Ensembletheorie von Gibbs und Einstein. Diese zweite Formulierung führte je doch aus dynamischer Sicht kein neues Element ein, da sie sich, auf einzelne Trajektorien beziehungsweise Wellenfunktionen angewandt, auf die erste Formulierung reduziert. Wir erhalten jetzt eine dritte Formulierung, die einen völlig anderen Status hat: Sie bezieht sich nur auf Ensembles, und sie gilt nur für chaotische Systeme. Diese Formulierung führt, wie wir noch sehen werden, zu Resultaten, die weder mit der Newtonschen Mechanik noch mit der orthodoxen Quantentheorie abgeleitet werden können. Sie bildet die Grundlage für eine die Eigenschaften der Mikrowelt und der Makrowelt umfassende Synthese, denn sie bezieht die Irreversibilität in die fundamentale Beschreibung der Natur ein.

Diese neue Formulierung der Dynamik bringt einen einschneidenden Wandel des Konzepts der »Naturgesetze« mit sich. Diese drücken jetzt nicht länger Gewißheiten, sondern Möglichkeiten aus, und sie führen in die Sprache der Physik ein narratives Element ein, das mit der Idee des Ereignisses zusammenhängt, die von der herkömmlichen Formulierung nur als Illusion oder als Ergebnis einer approximativen Beschreibung verstanden werden konnte. Die Auflösung des Zeitparadoxons ist daher wesentlich für die Überbrückung der Kluft zwischen den von C. P. Snow charakterisierten »zwei Kulturen«. Sowohl die dynamische Welt - Bastion der zeitlosen geometrischen Beschreibung, die in den »harten« Wissenschaften dominierte - als auch die historische Welt der menschlichen Angelegenheiten unterliegen jetzt einer gemeinsamen evolutionären Sichtweise.

Den Anstoß zu unserer Arbeit gab das Zeitparadox. Das Zeitparadox steht jedoch nicht allein. Mit der Verleugnung des Zeitpfeils hängen, wie wir sehen werden, zwei weitere Paradoxa eng zusammen: das »Quantenparadox« und das »kosmologische Paradox«. In der Quantenmechanik ist die Beschreibung durch »Wellenfunktionen« grundlegend. Der große Unterschied zwischen der klassischen Dynamik und der Quantenmechanik besteht darin, daß klassische Trajektorien direkt »Observablen« entsprechen, während Quanten-Wellenfunktionen Wahrscheinlichkeitsamplituden entsprechen. Zu Wahrscheinlichkeiten im eigentlichen Sinne gelangen wir erst durch einen »Zusammenbruch« der Wellenfunktion, der in der grundlegenden Gleichung der Quantenmechanik (es handelt sich um die Schrödinger-Gleichung, die eine ähnliche Rolle spielt wie Newtons Gleichung in der klassischen Dynamik) nicht enthalten ist. In der Quantenmechanik erscheint daher eine Doppelstruktur, einerseits die Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunktion und andererseits der Zusammenbruch der Wellenfunktion, der Irreversibilität und Wahrscheinlichkeit in die Quantenbeschreibung einführt. Diese Doppelstruktur hat, seit die Quantentheorie vor rund 60 Jahren formuliert wurde, Kontroversen ausgelöst, die bis heute anhalten. Man hat die Quantenmechanik mit Recht als die erfolgreichste aller physikalischen Theorien bezeichnet, doch was sich physikalisch hinter dem »Zusammenbruch« verbirgt, hat sie nicht zu erhellen vermocht. Viele Physiker sind zu dem Schluß gekommen, daß es der Beobachter ist, der durch seine Messung den Zusammenbruch bewirkt. Dies ist das Quantenparadox,das ein subjektives Element in unsere Beschreibung der Natur einführt.

Zwischen dem Zeitparadox und dem Quantenparadox besteht eine enge Analogie. Beide schreiben uns eine ganz erstaunliche Rolle zu. Danach ist der Mensch sowohl für den Pfeil der Zeit als auch für den Übergang der Quanten-»Potentialität« in »Aktualität« verantwortlich, das heißt für alle Erscheinungen, die in unserer physikalischen Beschreibung mit dem Werden und mit Ereignissen zusammenhängen. Wir können der Quantentheorie jetzt eine realistische Interpretation geben. Da chaotische Quantensysteme nicht durch Wellenfunktionen, sondern durch Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden, ist ein »Zusammenbruch der Wellenfunktion« nicht erforderlich. Wir werden im Detail zeigen, wie die zeitliche Entwicklung von chaotischen Systemen Wellenfunktionen in Ensembles transformiert. Es ist das in unserer generalisierten Formulierung die Existenz einer irreduziblen probabilistischen Beschreibung implizierende Quantenchaos, das uns den Zugang zur Natur verschafft, und nicht der Akt der Beobachtung.

Elemente, die sowohl das Chaos als auch den Zeitpfeil und die Lösung des Quantenparadoxons enthalten, führen uns zu einem einheitlicheren Naturbegriff, der auf allen Ebenen der Beschreibung das Werden und »Ereignisse« einbezieht. Daher der englische Titel dieses Buches: Time, Chaos and the Qantum. Die herkömmlichen Naturgesetze waren Gesetze, die ein geschlossenes, deterministisches Universum beschrieben, dessen Zukunft und Vergangenheit als gleichwertig definiert waren. Darin sah man einen Triumph des menschlichen Geistes, der über die äußeren Erscheinungen des Wandels hinausgeht. Allerdings wurde die im Sinne solcher Gesetze verstandene theoretische Physik dadurch allen übrigen Wissenschaften entfremdet, die ihren Beschreibungen einen Zeitpfeil zugrunde legen. Inzwischen haben wir erkannt, daß deterministische, zeitlich symmetrische Gesetze lediglich ganz besonderen Fällen entsprechen. Sie gelten nur für stabile klassische und Quantensysteme, die tatsächlich eine sehr begrenzte Klasse physikalischer Systeme darstellen. Sie werden ersetzt durch irreduzible probabilistische Gesetze, die uns ein »offenes« Universum zeigen, in dem in jedem Augenblick neue Möglichkeiten ins Spiel kommen.

Wir erwähnten ein drittes Paradox, das kosmologische Paradox. Die moderne Kosmologie schreibt unserem Universum ein Alter zu: Es entstand vor rund 15 Milliarden Jahren mit dem »Urknall«. Bei ihm handelt es sich unverkennbar um ein Ereignis. In der herkömmlichen Formulierung der Naturgesetze kommen Ereignisse jedoch nicht von Trajektorien und Wellenfunktionen haben keinen Anfang und kein Ende. Deshalb hat die Urknallhypothese die Physik vor »ihre größte Krise« gestellt. Stephen Hawking und andere haben die Vermutung geäußert, daß der Urknall rein geometrischen Charakter haben könnte. Die Zeit wäre demnach eine »unwesentliche Eigenschaft« (an »accident«) in einem geometrischen Universum. Die kosmologische Zeit wäre eine Illusion; der in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie enthaltene Unterschied zwischen Zeit und Raum würde eliminiert durch die Einführung einer »imaginären« Zeit, die man als die reale Zeit aufzufassen hätte. Dies ist es, was wir als das »kosmologische Paradox« bezeichnen. Die Folge wäre die endgültige Auflösung eines jeglichen Zusammenhangs zwischen Sein und Werden. Das Universum »würde einfach SEIN«, wie Hawking schreibt⁵.

Aus unserer Sicht sind Ereignisse das Resultat von Instabilitäten, von Chaos. Dies gilt auf allen Ebenen, auch auf der kosmologischen Ebene. Nach deterministischer Auffassung wäre alles, das Schreiben dieses Buches eingeschlossen, seit dem Urknall vorherbestimmt. In unserer Formulierung der Naturgesetze beziehen sich diese auf Möglichkeiten. Wir gelangen so zu einem Bild des frühen Universums, das dem eines Kindes ähnelt. Wenn es seine ersten Schritte wagt, kann es noch Musiker, Rechtsanwalt oder Zahnarzt werden, aber nicht alles zugleich. Es ist ein Glück für uns, daß die Entwicklung des Universums Leben auf der Erde und letztendlich den Menschen hervorgebracht hat.

II

Nun zum Aufbau unseres Buches. Es ist organisiert um das Zeitparadox, seine Entdeckung, seine Folgen und seine Auflösung. Wichtige Themen sind ferner die Zusammenhänge zwischen dem Zeitparadox und den beiden anderen Paradoxa, dem Quantenparadox und dem kosmologischen Paradox. Großen Raum nehmen außerdem Instabilität und Chaos ein, denn dies ist das aus unserer Sicht entscheidende Element, das zur Auflösung aller drei Paradoxa führt.

Im 1. Teil wird der historische und ideologische Hintergrund des Zeitparadoxons beschrieben. Wie war es möglich, den Pfeil der Zeit entgegen dem phänomenologischen Augenschein zu leugnen? Man kann die Tatsache, daß das Zeitparadox hingenommen wurde, nur verstehen, wenn man das Streben der abendländischen Wissenschaft nach Intelligibilität berücksichtigt. Die Formulierung der großen zeitlich symmetrischen Naturgesetze schien dieses Streben zu befriedigen, allerdings um einen enormen Preis - eine grundlegende Kluft zwischen den Menschen und der Welt, die die Menschen zu beschreiben und zu verstehen lernen. Die Kluft zwischen einem Universum, das als ein Automat beschrieben wird, und dem Menschen mit seiner Geschichte und seiner Kreativität ist durch nichts zu überbrücken.

Doch das Streben nach Intelligibilität ist nicht abgeschlossen. Neue Entwicklungen in der Physik selbst verlangen, daß wir unser Naturverständnis ändern. Da ist vor allem die schon erwähnte in den letzten Jahrzehnten entstandene Physik der Nichtgleichgewichtsprozesse. In Hunderten von Laboratorien auf der ganzen Welt wird heute an solchen Fragen gearbeitet. So kam es zur »Wiederkehr des Zeitparadoxons«, weil in Nichtgleichgewichtsprozessen der Pfeil der Zeit eine wesentliche Rolle spielt. In den letzten Jahren sind zahlreiche Bücher erschienen, die den neuen Zugang zur Natur beschreiben, der durch die Erforschung gleichgewichtsferner Prozesse eröffnet wird. Gleichzeitig sind aber auch Bücher von hervorragenden Physikern erschienen, in denen an der Idee festgehalten wird, daß der Pfeil der Zeit ein Resultat unserer Näherungen, unserer unvollständigen Erkenntnis sei. Ein beträchtlicher Teil der wissenschaftlichen Gemeinschaft hat sich demnach die neuen Perspektiven, welche die Physik der Nichtgleichgewichtsprozesse eröffnet, noch nicht zueigen gemacht. Aus diesem Grund beschreiben wir im zweiten Teil einige der Perspektiven, welche die Nichtgleichgewichtsphysik erschließt.

Zum Kern unserer Arbeit kommen wir jedoch im III.Teil. Im 5.Kapitel wird zunächst das einfachste Beispiel eines Chaos beschrieben, das bei »diskreten Abbildungen« auftritt, das heißt bei Systemen, deren zeitliche Entwicklung diskrete Stufen durchläuft. Wir schildern die Schwierigkeiten, die entstehen, wenn man diese Systeme mit Hilfe von Trajektorien beschreibt, und greifen auf die probabilistische Beschreibung zurück. Es hat schon frühere Versuche gegeben, doch eine strenge Formulierung der zeitlichen Entwicklung im Rahmen einer probabilistischen irreduziblen Beschreibung ist uns erst vor kurzem gelungen. Auf die mathematischen Aspekte dieses Problems werden wir in dieser Einleitung noch eingehen.

Im 6.Kapitel befassen wir uns mit den dynamischen Systemen, um die es in der Physik hauptsächlich geht. Die zeitliche Entwicklung ist hier, anders als bei den Abbildungen, stetig. Ein geeigneter Ausgangspunkt für unsere Erörterung ist das grundlegende Theorem, das der große französische Mathematiker Henri Poincaré vor rund hundert Jahren auf gestellt hat. Poincarés Frage lautete, etwas vereinfachend: Können wir Wechselwirkungen »eliminieren«? Systeme, bei denen das möglich ist, nannte Poincaré »integrabel«. Solche Systeme werden dann nämlich isomorph mit Systemen freier Teilchen, und die sehr einfache Form, welche die Bewegungsgleichung annimmt, macht ihre Integration, das heißt die explizite Berechnung ihrer Trajektorie, zu einem Kinderspiel.

Die in Lehrbüchern für Anfänger behandelten dynamischen Systeme sind allesamt integrable Systeme, zum Beispiel das Erde-Sonne-Problem. Für die meisten dynamischen Systeme zeigte sich jedoch, daß Poincaré's Frage verneint werden muß. In seinem 1889 formulierten Theorem bewies Poincaré, daß dynamische Systeme im allgemeinen nicht integrabel sind. Die Wechselwirkungen können nicht eliminiert werden.

Das trifft sich gut. Wäre die Antwort auf Poincarés Frage positiv ausgefallen, so wäre die Kluft zwischen einer in dynamischen Termini beschriebenen Welt und unserer eigenen Welt mit ihrer Kohärenz, ihren chemischen und biologischen Prozessen unüberbrückbar gewesen. Eine dynamische Welt, die einem System freier Teilchen isomorph ist, kann mit dem Werden nichts anfangen. Außerdem zeigte Poincaré, warum die meisten dynamischen Systeme nicht integrabel sind und Wechselwirkungen nicht eliminiert werden können. Es liegt am Auftreten von Resonanzen.

Der Gedanke der Resonanz ist uns vertraut, denn schon als Kinder wissen wir, wie wir die Schwingungen einer Schaukel verstärken können. Poincaré zeigte, daß Resonanzen zu Divergenzen führen, wenn wir die Wechselwirkungen zu eliminieren versuchen: Dies ist das Problem der »kleinen Nenner«, das schon den Begründern der klassischen Dynamik wie Lagrange und Laplace bekannt war. Es gibt, wie Poincaré zeigte, keinen Ausweg - dies ist das grundlegende ungelöste Problem der Dynamik. Poincarés Resultat stieß aber zunächst nur in einem begrenzten Kreis von Fachleuten auf Interesse. Die meisten Physiker sahen darin ein technisches Problem, das sich, wenn man nur genügend mathematischen Scharfsinn einsetzte, letztlich würde lösen lassen. Eine einschneidende Änderung brachte jedoch die Formulierung der KAM-Theorie (KAM ist das Kürzel für Kolmogoroff, Arnold und Moser) um 1950. Die KAM-Theorie zeigte, daß Resonanzen zu zwei Arten von Trajektorien führen: solchen, die sich »normal« verhalten, wie wir es von der Untersuchung der planetarischen Zweikörperbewegung kennen, und solchen, die sich zufällig verhalten.

Es muß darauf hingewiesen werden, daß die KAM-Theorie das Problem der Poincaréschen Divergenzen nicht gelöst hat. Was sie brachte, war eine Klassifikation von Trajektorien. Wir müssen nun über das Resultat Poincarés und die KAM-Theorie hinausgehen, also Poincarés Divergenzen eliminieren, um zu einer neuen Beschreibung der zeitlichen Entwicklung nichtintegrabler chaotischer Systeme zu gelangen. Damit ändert sich wiederum die Bedeutung des Poincaréschen Theorems. Es galt jahrzehntelang als ein Hindernis für die Anwendung von Methoden, die sich bei integrablen Systemen als sehr erfolgreich erwiesen haben. Uns verschafft es jedoch die Gelegenheit, zwischen zwei scheinbar getrennten Gebieten, dem der Dynamik und dem der traditionell mit der Zunahme der Entropie verbundenen irreversiblen Prozesse, eine Verbindung herzustellen. Es stimmt schon, daß die Bewegungsgesetze, angewandt auf ein reibungsloses Pendel, zeitlich reversibel sind, doch kann das Pendel, wie das Poincaré- Theorem zeigt, nicht als Symbol des klassischen dynamischen Systems gelten. Es ist ein integrables System. Was wir benötigen, um zwischen dem alten Kontinent der stabilen dynamischen Systeme und der Welt der dissipativen, die Entropie steigernden Prozesse eine Brücke zu schlagen, sind nichtintegrable chaotische Systeme.

Das 7.Kapitel befaßt sich mit der Quantenmechanik. Sie verlangt durch die Einführung von Operatoren eine neue Denkweise. Physikalische Größen wie Energie, Koordinaten und so weiter werden jetzt durch Operatoren ersetzt, deren numerische Werte man durch die Lösung eines »Eigenwertproblems« erhält. Was hinter diesen Fachausdrücken steckt, wird im 7.Kapitel erklärt. Hier sei nur darauf hingewiesen, daß dieses auf Heisenberg zurückgehende Ziel, das Eigenwertproblem zu lösen, große Ähnlichkeit hat mit dem Ziel »die Wechselwirkungen zu eliminieren,« um Bewegungsgleichungen zu lösen. So ungeheuer erfolgreich die Verfolgung beider Ziele auch war, gibt es doch in der Quantenmechanik viele bedeutende Sachverhalte (wie etwa die Wechselwirkung zwischen Materie und Licht), die erneut zu Poincaréschen Divergenzen führen. Wir stoßen hier auf Fragen, die direkt an die Grundlagen der Quantenmechanik rühren. Wie wirken sich die Poincaréschen Divergenzen auf die Gültigkeit der Beschreibung durch Wellenfunktionen aus? Was ist ein Quantenchaos? Das klassische Chaos ist begrifflich sehr einfach zu fassen: Benachbarte Trajektorien divergieren exponentiell. Dies entspricht der »Empfindlichkeit gegenüber den Anfangsbedingungen«. Diese Definition des Chaos läßt sich jedoch nicht übertragen auf die Wellenfunktionen, um die es in der Quantenmechanik geht. Wir werden dagegen zeigen, daß sich das Poincaré-Theorem auf wichtige Klassen von Quantensystemen anwenden läßt (da bei denken wir an »große« Systeme wie etwa die Materie-Feld-Wechselwirkungen). Wir gelangen dann wiederum zu einer irreduziblen probabilistischen Beschreibung, die nicht auf die Untersuchung einzelner Wellenfunktionen reduziert werden kann. Dies sind die Systeme, die wir chaotisch nennen.

Diese Definition des Chaos umfaßt daher sowohl klassische als auch Quantensysteme. Sie bedeutet in beiden Fällen nicht, daß die fundamentalen Gleichungen (Newtons bzw. Schrödingers) falsch werden, sondern daß es im allgemeinen unmöglich ist, aus diesen Gleichungen das Verhalten einzelner Trajektorien oder einzelner Wellenfunktionen abzuleiten. Die zeitliche Entwicklung chaotischer Systeme erfordert eine irreduzible probabilistische Beschreibung.

Im 8.Kapitel fassen wir noch einmal die herkömmliche statistische Beschreibung der Mikrowelt zusammen, um uns dann der mathematischen Formulierung der Theorie des Chaos zuzuwenden. Es ist, wie schon erwähnt, fast 100Jahre her, daß Gibbs und Einstein eine zweite Formulierung der Physik einführten, nicht im Sinne von Trajektorien wie in der klassischen Mechanik (oder im Sinne von Wellenfunktionen wie in der Quantenmechanik), sondern im Sinne von Ensembles und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Dieser wichtige Schritt war erforderlich, um den Begriff des thermodynamischen Gleichgewichts einzubeziehen. Aus der Sicht der Dynamik wurde damit jedoch keine neue Erkenntnis gewonnen. Die probabilistische Beschreibung von Gibbs und Einstein ist in der Tat reduzibel. Jedes dynamische Problem, das mit dieser Methode zu lösen ist, kann im Sinne von Trajektorien oder von Wellenfunktionen und umgekehrt gelöst werden. Die statistische Physik hat keine Antwort auf die Frage, die uns ihr Gegenstand aufgibt: Wie beschreiben wir die Annäherung an das Gleichgewicht? Was ist der dynamische Ursprung des Pfeils der Zeit? Gibbs und Einstein benutzten die Ensembletheorie im wesentlichen als Recheninstrument. Für uns wird sie dagegen als Resultat der Instabilität zu einem wichtigen begrifflichen Instrument. Viele Physiker haben bekanntlich gehofft, das probabilistische Element in der Quantentheorie (die Schrödinger-Gleichung ist zwar ebenso deterministisch wie Newtons Gleichung, beschreibt aber die Entwicklung von Wahrscheinlichkeitsamplituden) eines Tages eliminieren und zur klassischen Orthodoxie zurückkehren zu können. Wir schlagen die umgekehrte Richtung ein. Das statistische Element wird jetzt sowohl in klassischen als auch in quantenphysikalischen »chaotischen« Systemen fundamental.

Die Kapitel 5 bis 8 machen den Leser bekannt mit der Naturbeschreibung, wie sie von der orthodoxen, klassischen Dynamik, der Quantendynamik und der statistischen Mechanik praktiziert wird. Dabei werden die Grenzen der in der Vergangenheit entwickelten Methoden betont. Nur so wird die Bedeutung der Methoden verständlich, die im IV.Teil in den Kapiteln 9 und 10 vorgestellt werden. Wir gehen wieder, wie schon im 5.Kapitel, von der Untersuchung von Abbildungen aus. Dank einer geeigneten Erweiterung der Methoden, die erstmals mit der Quantentheorie in die Physik Einzug hielten, können wir die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben, um die es bei der Beschreibung chaotischer Systeme im Grunde geht. Hier bringen wir ein erstes Beispiel einer für chaotische Systeme geltenden irreduziblen probabilistischen Beschreibung. Diese Irreduzibilität ist eine direkte Folge der Instabilität.

Der Schritt, den wir getan haben, erinnert ein wenig an den Schritt, den Einstein tun mußte, um zwischen der Raumzeit und der Materie einen Zusammenhang herzustellen. In der Newtonschen Beschreibung war der Raum euklidisch, und die Zeit floß gleichförmig. Zwischen dem »Inhalt« (der Materie) und dem »Behälter« (Raum und Zeit) gab es keinen Zusammenhang. In der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Geometrie nicht mehr euklidisch, sie hängt von der Verteilung der Materie ab. In der orthodoxen Quantenmechanik ist der Raum, in dem sich die Wellenfunktionen entwickeln, der Hilbert-Raum. Von fundamentaler Bedeutung ist der Hilbert-Raum auch für die statistische Beschreibung durch Ensembles. Wir werden auf seine Eigenschaften näher eingehen. Hier sei nur erwähnt, daß der Hilbert-Raum als eine Erweiterung des euklidischen Raums aufgefaßt werden kann. Wir werden zeigen, daß das Chaos uns zwingt, den Hilbert-Raum zu verlassen und zu generalisierten Räumen (oft spricht man von »rigged« Räumen) überzugehen, deren Struktur von der spezifischen Form der Instabilität abhängt. Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung muß beschrieben werden in einem Raum, der von der Dynamik abhängt. Die Lösung des Zeitparadoxons und der anderen Paradoxa ist nur deshalb möglich, weil der Raum »temporalisiert« wird, so daß Vergangenheit und Zukunft nicht länger die gleiche Rolle spielen.

Generalisierte »rigged« Räume wurden um das Jahr 1960 von I. M. Gelfand und Kollegen in die mathematische Literatur eingeführt. Daß sie etwas mit dem Chaos zu tun haben, ist jedoch eine ganz junge Erkenntnis. Sie bilden den Rahmen für unsere Aussage, daß Systeme, die einer irreduziblen probabilistischen Beschreibung gehorchen, definitionsgemäß chaotisch sind.

Im 10.Kapitel übertragen wir unsere Resultate auf verschiedene Sachverhalte, die in der klassischen und der Quantentheorie von Interesse sind. Die größte Aufgabe besteht hier darin, über die negative Aussage Poincarés (»Nichtintegrierbarkeit«) hinauszugehen, das heißt die auf Resonanzen beruhenden Divergenzen zu eliminieren. Für eine wichtige Klasse nichtintegrabler Systeme, nämlich die, die wir als »große Poincaré-Systeme« bezeichnen, kann dies geleistet werden. Wir übergehen hier die Definition und erwähnen nur, daß diese Klasse unter anderem Probleme in der Quantentheorie umfaßt, darunter »Quantensprünge«, das beißt die Emission von Strahlung, die Absorption von Strahlung und wechselwirkende Felder, sowie alle Probleme, die üblicherweise in der statistischen Mechanik untersucht werden. Damit umfaßt sie die Mehrheit der dynamischen und quantenmechanischen Systeme, die wir in der Natur antreffen.

Es gibt mittlerweile stringente Verfahren, mit denen die Poincaréschen Divergenzen eliminiert werden können. In diesem Buch werden wir eine einfache Methode benutzen, die auf der zeitlichen Anordnung beruht. Wir gehen von der Beobachtung aus, daß die Zeit in der klassischen wie in der Quantenphysik auf zweierlei Weise in die Beschreibung ein geht: erstens als Parameter in den Bewegungsgleichungen und zweitens bei der Einführung einer »zeitlichen Anordnung«. Betrachten wir als Beispiel der zeitlichen Anordnung eine ebene Welle, die an einem Hindernis gestreut wird und eine Kugelwelle hervorruft. Unter dem Aspekt der Zeit als Parameter können wir ebensogut den Fall einer einlaufenden Kugelwelle betrachten, die gestreut wird und zu einer ebenen Welle führt, doch in der Natur beobachten wir diesen Fall nie. Wir beobachten direkte Streuung, niemals inverse Streuung. Direkte und inverse Streuung unterscheiden sich durch ihre zeitliche Anordnung. Dieser Unterschied hängt in der Regel mit »Randbedingungen« zusammen: Unter dynamischem Aspekt (wobei die Zeit nur ein Parameter ist) wären beide Möglichkeiten äquivalent, doch die Herstellung eines Systems, das zu inverser Streuung führt, wäre nicht zu verwirklichen. Doch worauf beruht diese Unmöglichkeit? Vielfach ist die phänomenologische Brechung der zeitlichen Symmetrie auf eine praktische Beschränkung zurückgeführt worden, wonach wir außerstande sein sollen, Systeme mit solchen Randbedingungen darzustellen, die zu inverser Streuung führen.

Unsere Methode zeichnet sich dadurch aus, daß beide Aspekte der Zeit - die Zeit als Parameter und die zeitliche Anordnung - eine wesentliche Rolle spielen. Die Randbedingungen sind nicht hinreichend. Tatsächlich können die Poincaréschen Divergenzen nur mit Hilfe der zeitlichen Anordnung eliminiert werden. In speziellen einfachen Situationen kann diese zeitliche Anordnung auf der Ebene der Trajektorien beziehungsweise Wellenfunktionen hergestellt werden. Die Eliminierung von Poincaréschen Divergenzen äußert sich in einer gebrochenen zeitlichen Symmetrie. Bei stabilen dynamischen Systemen sind die Bewegungsgleichungen und ihre Lösungen zeitlich symmetrisch. Bei instabilen dynamischen Systemen bleiben die Gleichungen symmetrisch, doch haben wir zwei Lösungsmengen mit gebrochener zeitlicher Symmetrie. Diese Symmetriebrechung liegt der Lösung des Zeitparadoxons zu grunde: Die Natur ist nicht so symmetrisch, wie nach den Gleichungen der klassischen und der Quantenphysik erwartet wurde.

Betrachten wir zum Beispiel den Zerfall eines instabilen Teilchens. Eine der erhaltenen Lösungsmengen sagt diesen Zerfall in unserer Zukunft voraus, die andere in unserer Vergangenheit, so als würde das Teilchen in der gleichen Weise spontan entstehen, wie bei inverser Streuung eine gestreute Kugelwelle zu einer ebenen Welle führen würde. In der Natur wird nur eine Lösungsart realisiert, nämlich die, die dem Zerfall in unserer Zukunft entspricht.

Im allgemeinen muß die zeitliche Anordnung jedoch auf der Ebene der statistischen Beschreibung hergestellt werden, bei der es um Ensembles geht. Im Rahmen dieser statistischen Beschreibung können wir die Poincaréschen Divergenzen eliminieren und eine konsistente dynamische Beschreibung sowohl für klassische als auch für quantenphysikalische chaotische Systeme formulieren.

Da Irreversibilität und Wahrscheinlichkeit immer wieder mit dem Näherungscharakter unserer Erkenntnis in Verbindung gebracht worden sind, muß betont werden, daß unser Ansatz demgegenüber die operationalen Möglichkeiten sowohl der klassischen als auch der Quantenphysik erweitert. Klassen von Problemen, die ungelöst blieben, weil sie nichtintegrable Systeme betrafen, können jetzt auf eine neue Weise angegangen werden. Außerdem besteht zwischen unseren Resultaten und denen der orthodoxen klassischen und Quantentheorie ein grundlegender Unterschied. Der herkömmlichen Quantenmechanik zufolge erhält man die mit einer physikalischen Größe zusammenhängenden numerischen Werte als reelle Eigenwerte von Operatoren, und sie entsprechen daher Frequenzen (wie man sie in der Spektroskopie beobachtet). In unserer Darstellung chaotischer Systeme werden die Eigenwerte dagegen komplex, und sie repräsentieren zusätzlich Zerfalls- oder Relaxationsprozesse, die irreversible Prozesse sind. Dies ist nur möglich, weil wir auf die Verwendung des Hilbert-Raums verzichtet haben. In den generalisierten Räumen gehen, ausgehend von der Dynamik und ohne die Einführung von Ad-hoc-Annahmen, irreversible Prozesse in die Beschreibung der zeitlichen Entwicklung ein.

Wenn wir einmal erkannt haben, wie wichtig die irreversiblen Prozesse sind, wird die Erörterung der Kosmologie aus dieser Sicht zu einer faszinierenden Angelegenheit (11.Kapitel). Wir kommen hier an die Grenzen unseres derzeitigen Wissens. Um die allerersten Anfänge des Universums zu verstehen, die sogenannte Plancksche Ära, bedürfte es in der Tat einer konsistenten Theorie, welche die Quantenmechanik und die allgemeine Relativitätstheorie in sich vereint. Diese Vereinigung stößt auf zahlreiche Schwierigkeiten. Eine davon hängt mit der Rolle des Beobachters in der herkömmlichen Quantentheorie zusammen. Wer beobachtet das Universum? Bei unserem Ansatz fällt diese Schwierigkeit fort, da wir ohne einen Zusammenbruch der Wellenfunktion auskommen. Eine andere Schwierigkeit ist die, wie das Ereignis, das wir mit der »Geburt des Universums« in Verbindung bringen dürfen, charakterisiert wer- den soll. Ist es eine Singularität, wie es das »Standardmodell« der Kosmologie zu implizieren scheint, oder ist es eine Instabilität? Wir werden bei der Charakterisierung des Urereignisses immer auf Extrapolationen angewiesen sein, weil die physikalischen Bedingungen damals so verschieden waren von allem, was wir - selbst in den größten Teilchenbeschleunigern - beobachten können. Die Alternative »Singularität oder Instabilität« verweist auf zwei ganz unter schiedliche gedankliche Ansätze, die ausgelotet zu werden verdienen.

Die Vorstellung, der Urknall sei eine Singularität, gehört in die große klassische Tradition, in die sich die allgemeine Relativitätstheorie und das Standardmodell der Kosmologie als integrale Bestandteile einfügen. Diese Beschreibung kennt keine bevorzugte Zeitrichtung: Die gegenwärtige Entwicklung des Kosmos stellt eine Expansion dar, doch bei anderen Anfangsbedingungen könnte sie ebensogut eine Kontraktion sein. Dagegen mißt die Vorstellung von einer Instabilität, einer Art von Phasenübergang, der das Universum aus einem Zustand in einen anderen übergehen läßt, der Irreversibilität entscheidende Bedeutung zu. Was könnte in der Tat irreversibler sein als das Hervortreten von Materie aus einem vormateriellen »Vakuum«? Außerdem bringt uns die Instabilität zurück zum Problem des Chaos. Das Chaos, so sagten wir, zwingt uns, erneut über die Bedeutung der Naturgesetze nachzudenken. Hier, in der Welt der Quantengravitation, treten die Implikationen unseres neuen theoretischen Ansatzes in aller Klarheit zutage. Auch das Universum ist kein abgeschlossenes System. Es ist in das Quantenvakuum eingebettet. Seine Geburt gehorcht nicht einem deterministischen Gesetz, sondern realisiert eine »Möglichkeit«. Nichts spricht dagegen, daß nicht auch andere Realisierungen in unmittelbarer Nähe zum Zeitpunkt des Urknalls mit den Gesetzen der Quantengravitation vereinbar gewesen wären. In diesem Sinne beziehen sich alle Gesetze der Physik letztlich auf Möglichkeiten. Natürlich ist die von uns vorgefundene Realisierung der Welt, die den genetischen Code und das menschliche Gehirn enthält, ein Resultat dieser Möglichkeiten. Doch was immer das menschliche Gehirn noch an theoretischem Wissen hervorbringen mag, es wird nicht imstande sein, die Offenheit, den probabilistischen Charakter der Geschichte, die zu seiner Entstehung führte, zu transzendieren.

Desgleichen ist die Zukunft nicht länger gegeben, sie ist nicht mehr in der Gegenwart enthalten. Das klassische Ideal der Allwissenheit ist somit nicht mehr zu halten. Die Welt der Prozesse, in der wir leben und die ein Teil von uns ist, kann nicht länger abgetan werden als bloßer Schein, als Illusion, die unserer begrenzten Beobachtung zuzuschreiben ist. In der Frühzeit des abendländischen Denkens führte Aristoteles eine grundlegende Unterscheidung ein: Der göttlichen und unvergänglichen Welt des Himmels stand die wandelbare und unvorhersagbare sublunare Welt gegenüber, zu der unsere Erde gehört. Die klassische Wissenschaft hat gewissermaßen den Himmel, wie Aristoteles ihn verstand, auf die Erde heruntergeholt. Der Wandel, den wir heute erleben, kann als eine Umkehrung dieser Geste verstanden werden: Wir bringen jetzt den Himmel der Erde näher.

III

Dieses Buch ist zwar das Ergebnis langjähriger Forschung (der ältere der Autoren begann damit Ende der vierziger Jahre), doch erst jetzt haben wir den Eindruck, zu einem kohärenten Entwurf gelangt zu sein. Das Problem der Zeit hat uns immer fasziniert, und wir haben immer geglaubt, die Ursache der Irreversibilität in der Instabilität suchen zu müssen. Dem standen jedoch zahlreiche Hindernisse technischer und ideologischer Art entgegen. Dirac hat einmal gesagt, der Fortschritt in der theoretischen Physik habe oft mit der Überwindung von Vorurteilen zu tun. Das gilt auch hier. Doch dem zentralen Problem, der Herausforderung des Zeitparadoxons, war mit den herkömmlichen Mitteln, von der reversiblen Dynamik zur Irreversibilität überzugehen, nicht beizukommen. Sobald wir uns nämlich mit einer geeigneten approximativen (»grobkörnigen«) Version der klassischen oder auch der quantenphysikalischen Beschreibung befassen, können wir auf den Pfeil der Zeit stoßen. Hinter solchen Näherungen verbarg sich nach unserer Überzeugung eine tiefere Wahrheit. Wir erwähnten bereits die spektakulären Ergebnisse der Nichtgleichgewichts-Physik. Sie belegen unzweideutig, daß die Irreversibilität eine fundamentale, konstruktive Rolle spielt. Warum sind wir dann auf Näherungen angewiesen, um die fundamentale Theorie mit den Versuchsergebnissen bezüglich der dissipativen Eigenschaften der Welt in Einklang zu bringen? Wir haben das Zeitparadox und die mit ihm zusammenhängenden Paradoxa als eine Herausforderung aufgefaßt, als ein Problem, zu dessen Lösung das grundlegende Begriffsschema der theoretischen Physik erweitert werden muß. Wir stehen natürlich erst am Anfang. Die von uns behandelten Beispiele sind wegen ihrer Einfachheit ausgewählt worden, doch wir sind überzeugt, daß wir nunmehr den Ausgangspunkt für ein einheitlicheres, deshalb auch befriedigenderes Naturverständnis erreicht haben.

In der Formulierung dieses kohärenten Schemas fließen drei wissenschaftliche Entwicklungen zusammen. Zum einen brachte die statistische Mechanik des Nichtgleichgewichts ein besseres Verständnis der physikalischen Bedeutung des Zeitpfeils und führte zur Formulierung einer Dynamik der Korrelationen, die eine Vorstufe der irreduziblen, probabilistischen Beschreibung bildet, des zentralen Gegenstandes dieses Buches (8.Kapitel). Wesentlich war zweitens die Theorie des Chaos, die nach der Grundlegung durch Poincaré von Kolmogoroff und seinen Kollegen fortentwickelt wurde. Schließlich verknüpften wir das Chaos mit der Funktionalanalysis, die, ausgehend von Gelfand, von zahlreichen Autoren, darunter A.Böhm und G.Sudarshan, weitergeführt wurde. So gelangten wir endlich zu den »Gesetzen des Chaos«, der Definition der zeitlichen Entwicklung chaotischer Systeme durch eine irreduzible, probabilistische Darstellung, die wir im 9. und 10.Kapitel umreißen.

Wir kommen bei der Darstellung unserer Methoden nicht ohne Fachtermini aus; das ist unvermeidlich, weil jeder Schritt sorgfältig begründet werden muß. Wir haben jedoch die Beweise ausgespart und methodisch-technische Erörterungen auf ein Mindestmaß reduziert; sie sind in den zugrundeliegenden Abhandlungen nachzulesen. Der nicht einschlägig vorgebildete Leser findet zum leichteren Verständnis eine knappe inhaltliche Zusammenfassung des III. und IV. Teils im Schlußteil. Dennoch mag der eine oder andere Abschnitt für den Durchschnittsleser Schwierigkeiten aufwerfen. Jede Gleichung, hieß es in einem kürzlich erschienenen Buch, halbiere die Zahl der Leser. Vielleicht bleiben dann nicht mehr viele Leser übrig. Wir sehen das jedoch anders. Es gibt so etwas wie eine Leidenschaft, unser Verhältnis zur Natur, so wie es von der modernen Wissenschaft beschrieben wird, zu verstehen und gründlicher zu analysieren. Dieses Buch wurde für solche Leser geschrieben, die von dieser Leidenschaft erfüllt sind.

Das Buch hat eine merkwürdige Vorgeschichte. Ursprünglich sollte es als Übersetzung unseres 1988 erschienenen Werkes Entre le temps et l'eternite'⁶ angeboten werden. Dort - wie auch schon in dem zuvor veröffentlichten Werk Dialog mit der Natur⁷ - haben wir die Bedeutung des Zeitparadoxons unterstrichen und darauf hingewiesen, daß instabile dynamische Systeme für seine Auflösung eine wichtige Rolle spielen. Die raschen Fortschritte dieses Programms sind über den Erkenntnisstand von Entre le temps et l'eternite hinweggegangen, so daß wir, mit Ausnahme der ersten Kapitel, nun ein wesentlich verändertes Buch mit einem anderen Titel vorlegen. Wir tragen hier eine konsistente, Irreversibilität und Wahrscheinlichkeit einschließende Formulierung der fundamentalen Gesetze der Physik vor. Einige der wesentlichen Vorhersagen dieser Formulierung sind bereits durch Computersimulation verifiziert worden. Zahlreiche Anwendungen wurden publiziert, oder ihre Veröffentlichung steht bevor. Wir glaubten sie jedoch in diesem Buch nicht mehr berücksichtigen zu können, denn das hätte eine weitere Verzögerung mit sich gebracht. So haben wir uns entschlossen, unsere Arbeit nach dem heutigen Stand (1992/93) vorzulegen und die Darstellung der zahlreichen neuen Anwendungen der »Gesetze des Chaos« der Zukunft zu überlassen.

In der vorliegenden Form fußt das Buch weitgehend auf der Arbeit, die in vier Jahrzehnten von unseren Forschungsgruppen in Brüssel und Austin geleistet wurde. Wir können nicht alle, die daran beteiligt waren, namentlich anführen, möchten aber den Drs. I. Antoniou, H. Hasegawa, T. Petrosky und S. Tasaki, die an der letzten Phase unserer Arbeit entscheidenden Anteil hatten, unseren besonderen Dank aussprechen.

Unser Dank gilt ferner der Europäischen Gemeinschaft, der Welsh Foundation, Texas (USA), den Instituts Internationaux de Physique et de Chimie Solvay in Brüssel, dem Energieministerium der Vereinigten Staaten und der Communaute fracaise de Belgique, die unsere Arbeit über viele Jahre hin gefördert haben. Dankbar erkennen wir die Hilfe von Carlo Rubino an, der die französischen Teile dieser Arbeit ins Englische übersetzte. Wertvoll waren für uns die zahlreichen Korrekturen und Anregungen von Dr. Dean Driebe, der die Endfassung unseres Textes einer sorgfältigen Prüfung unterzog.