Das dissipative Chaos

Der Begriff der »Ursache« ist immer mehr oder weniger explizit mit dem Begriff des »Gleichen« verknüpft gewesen, ohne den er nicht operational definiert werden kann: »Die gleiche Ursache erzeugt unter ähnlichen Umständen die gleiche Wirkung«; »wenn wir zwei ähnliche Systeme in der gleichen Weise präparieren, erhalten wir das gleiche Verhalten«. Auch Historiker nehmen an, daß sich an einer von ihnen analysierten Situation nichts Wesentliches geändert hätte, wenn die Umstände geringfügig anders gewesen wären. Wenn wir Wörter und Zahlen benutzen, die immer nur von endlicher Genauigkeit sind, setzen wir in der Tat voraus, daß unsere Beschreibung »robust« ist, daß sie nicht nur auf die Situation paßt, die wir gerade beschreiben, sondern auf eine Klasse ähnlicher Situationen, die sich mit den gleichen Worten und Zahlen vereinbaren lassen. Systeme, die empfindlich für ihre Anfangsbedingungen sind, lassen sich dagegen nicht auf robuste Weise oder mit Hilfe der deterministischen Kausalität beschreiben. Es ist nicht möglich, eine Klasse von »ähnlichen Situationen« zu definieren, bei denen ähnliche »Ursachen«, also ähnliche Anfangsbedingungen, ähnliche Entwicklungen nach sich ziehen.

Wir haben einen Raum eingeführt, um die zeitliche Entwicklung geometrisch darzustellen. Jeder Zustand des Systems ist in diesem Raum durch eine Menge von Zahlen charakterisiert. Gleichgültig, was diese Zahlen physikalisch bedeuten, kann unsere Beschreibung nur von begrenzter Genauigkeit sein, da die verwendeten Zahlen nur eine endliche Anzahl von Ziffern enthalten. Ein Zustand des Systems ist daher nicht durch einen Punkt im Raum definiert, sondern durch ein kleines Gebiet, dessen Ausdehnung von der Länge der Ziffernfolge abhängt. Alle Punkte in diesem Gebiet bezeichnen somit das »gleiche« System, doch unterliegen diese »gleichen« Systeme, falls sie empfindlich für die Anfangsbedingungen sind, nicht der gleichen Entwicklung. Sie gehören zu Trajektorien, die im Laufe der Zeit divergieren werden. Wir müssen, wie wir gleich sehen werden, den allgemeinen deterministischen Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung durch neue Eigenschaften ersetzen, die dem qualitativen Unterschied zwischen stabilen und chaotischen Verhaltensweisen entsprechen.

Damit kommen wir zur Definition des »chaotischen« Verhaltens. Ein Verhalten ist chaotisch, wenn der Abstand zwischen zwei Punkten, die einander beliebig nahe benachbart sind, mit der Zeit exponentiell zunimmt. Diese Divergenz wird demnach ausgedrückt durch eine Funktion , wobei für chaotische Systeme definitionsgemäß positiv, der »Ljapunow-Exponent« und die »Ljapunow-Zeit« ist⁴³.

Die Ljapunow-Zeit erlaubt es, einen inneren »Zeitmaßstab« für chaotische Systeme zu definieren als jene Zeit, während derer es sinnvoll bleibt, von »zwei gleichen Systemen« zu sprechen, das heißt von Systemen, die den gleichen Anfangsbedingungen entsprechen, so daß eine Vorhersage möglich ist. Nach einer Entwicklungszeit, die im Vergleich zur Ljapunow-Zeit lang ist, ist die Erinnerung an den Anfangszustand des Systems völlig verlorengegangen: Seine Angabe erlaubt uns nicht mehr, die Trajektorie zu bestimmen. Die chaotischen Systeme besitzen somit einen Zeithorizont, der durch die Ljapunow-Zeit definiert ist und den wir bis zu einem gewissen Grad erweitern, aber nicht aufheben können. Um die Zeit zu verlängern, während derer wir eine Trajektorie vorhersagen können, müßten wir die Genauigkeit der Angabe des Ausgangszustandes erhöhen; damit würden wir die Klasse der Systeme, die wir als »die gleichen« betrachten, beschränken. Damit wächst aber der Preis, den wir dafür zu zahlen hätten, exponentiell. Mit anderen Worten: Um die Zeit, während derer die Entwicklung eines Systems vorhersagbar bleibt, zu verzehnfachen, müßten wir die Genauigkeit der Definition der Anfangsbedingungen um einen Faktor steigern...

Der Zeithorizont eines chaotischen Systems begründet einen fundamentalen Unterschied zwischen dem, was wir das »Jetzt« nennen können, das individuelle System, dessen Verhalten wir aufgrund unserer gegenwärtigen und früheren Erkenntnis vorhersagen können, und dem »Künftigen«, einer Entwicklung, die wir nicht mehr im Sinne eines individuellen Verhaltens beschreiben können, sondern nur noch mit Hilfe einer probabilistischen Beschreibung, die unabhängig von den jeweiligen Anfangsbedingungen die gleiche ist für alle Systeme, die durch den gleichen Attraktor gekennzeichnet sind. Dieser Unterschied ist ein objektiver: Er ist nicht von praktischen Beschränkungen abhängig und bleibt bestehen, gleichgültig, wie sehr wir unsere Messungen verfeinern. Die Existenz eines Zeithorizonts verleiht der Beschränkung, die jeder Messung und Beschreibung anhaftet, grundlegende Bedeutung. Dies ist die »negative« Definition des Chaos im Sinne eines Hindernisses, das es uns, unabhängig vom Umfang unserer Kenntnisse, unmöglich macht, individuelle Verhaltensweisen vorherzusagen.

In den letzten Jahren haben Physiker und Mathematiker eine Vielzahl von chaotischen Systemen entdeckt und einige »Wege« zum Chaos definiert. Auf die technischen Einzelheiten werden wir hier nicht eingehen, sondern lediglich ein besonders einfaches Beispiel zeigen, bei dem es um das Paradebeispiel des Determinismus und der Vorhersagbarkeit geht, um das Pendel⁴⁴. Es ist wirklich faszinierend, detailliert zu beobachten, wie diese Eigenschaften auf dem Weg zum Chaos verlorengehen.

Betrachten wir ein schwach dissipatives Pendel (dessen Bewegung, würde sie nicht von außen aufrechterhalten, zum Stillstand kommen würde). Wir lassen die Schwingungen, die das Gewicht des Pendels ausführt, nicht eine Kurve, sondern eine Kugeloberfläche beschreiben (weshalb man von einem sphärischen Pendel spricht), und wir zwingen ihm darüber hinaus eine periodische Bewegung auf, statt an einem festen Punkt ist der Faden des Pendels an einer Aufhängung befestigt, die sich periodisch vor- und zurückbewegt, wodurch die Periode der »erzwungenen Schwingung« festgelegt ist. Wenn wir die Eigenperiode des freien Pendels mit bezeichnen, dann wird der Weg ins Chaos von dem Verhältnis zwischen und bestimmt.

Abb. 4.4 Verhalten eines sphärischen Pendels mit der Eigenperiode für verschiedene Werte seiner Forcierungsperiode T (nach Miles, PhysicaD 11,1984, 5. 309). Die forcierende Bewegung erfolgt in der Richtung der x-Achse. Das linke Diagramm zeigt die Amplitudenänderung jenes Teils der Pendelschwingung, der mit der aufgezwungenen Bewegung in Phase ist. Im Falle einer einfachen Schwingung würde sich dieses Diagramm auf einen Punkt reduzieren. Das rechte Diagramm zeigt das Frequenzspektrum der komplexen Schwingung. Der Logarithmus L der spektralen Dichte ist dargestellt in Abhängigkeit von F, dem Verhältnis zwischen der Frequenz und der Eigenfrequenz.

4.4-A . Das Pendel hat einen der beiden möglichen komplexen Schwingungsmoden angenommen (der andere ist symmetrisch zum ersten in bezug auf die x-Achse).

4.4-B .

Abb. 4.4-C .

Abb. 4.4-D . Die Bewegung des Pendels ist chaotisch geworden und geht zufällig von einem seiner beiden möglichen Moden in den anderen über.

Der erste Schritt auf diesem Weg, also die erste Verzweigung, erfolgt, wie Computersimulationen ergeben, wenn wir T einen Wert von geben. Wenn T diesen Schwellenwert überschreitet, ist die einfache, sphärische, das heißt planare Schwingung nicht länger stabil, und es werden zwei andere einfache, nichtplanare Schwingungen stabil, von denen das Pendel die eine oder andere annimmt. Eine zweite Verzweigung entsteht für , wobei subharmonische Schwingungen auftreten (Abb. 4.4-A, S. 110). Es entstehen noch weitere Verzweigungen, gekennzeichnet durch eine Verdopplung der Periode (Abb. 4.4-B und C), und wenn die Periode T schließlich den Wert annimmt, hört jede Regelmäßigkeit auf. Die Bewegung ist völlig erratisch geworden und nicht länger durch bestimmte Frequenzen gekennzeichnet. Die an der ersten Verzweigung getroffene Wahl ist vergessen: Das System geht von einer der beiden Verhaltensformen zur anderen über. Die Übergänge sind zufallsbedingt und weisen keinen Zusammenhang mehr mit den Anfangsbedingungen auf (Abb. 4.4-D). Die beschriebene Bewegung ist scheinbar sehr einfach, denn sie kam zustande durch Kopplung zwischen zwei deterministischen Bewegungen - der natürlichen Schwingung des Pendels und der durch die Verlagerung des Aufhängungspunktes aufgezwungenen. Dennoch ist sie zu einer chaotischen, unvorhersagbaren Bewegung geworden.