Das uns umgebende Chaos

Die Existenz von chaotischen Systemen verändert unsere Vorstellungen von der Vorhersagbarkeit und der probabilistischen Beschreibung. Es ist offensichtlich, daß sich in vielen Fällen hinter den Wahrscheinlichkeiten Unkenntnis verbirgt: Allzu viele Faktoren sind an einem Ereignis beteiligt. Dies gilt beispielsweise für Ereignisse wie Eheschließungen, Scheidungen, Todesfälle, Geburten und so weiter. Wenn wir nicht an einem speziellen Fall interessiert sind, müssen wir uns der statistischen Methode bedienen. Dies entspricht der klassischen Definition der Kontingenz, des »wirklichen« Zufalls. Aber der liegt nicht immer vor, und wir müssen jetzt lernen, zwischen verschiedenen Arten von unvorhersagbaren Verhaltensweisen zu unterscheiden. Nehmen wir zum Beispiel das Klima⁴⁵. Jeder weiß, daß das Klima auf dem Wechselspiel zahlreicher Faktoren beruht; das zeigt sich an den Kleinklimata, der Abhängigkeit des Klimas von der lokalen Geländeform, der Vegetation und so weiter. Wir wissen aber auch, daß es im Erdklima gewaltige Änderungen gegeben hat, die sich nachhaltig auf die Geschichte der Erde ausgewirkt haben. So war das Klima vor 200-300 Millionen Jahren sehr viel wärmer als heute; es gab praktisch kein Eis auf den Kontinenten, und der Meeresspiegel lag 80 Meter höher als heute. Vor 40 Millionen Jahren, im Tertiär, verstärkte sich der Temperaturunterschied zwischen den Polen und der Äquatorialzone. Erinnert sei ferner an die Serie von Eiszeiten, die das Quartär geprägt haben. Vor 7000 Jahren, als das Eis zurückgewichen war, erlebte die Erde ein, wie es oft heißt, »klimatisches Optimum«: In dieser Epoche, die zu Beginn der Eisenzeit vor 3000 Jahren zu Ende ging, blühte die Landwirtschaft in der Sahara. Wie lassen sich diese enormen langfristigen Veränderungen erklären? Muß man dafür äußere Ursachen verantwortlich machen, etwa eine Schwankung im Energiefluß von der Sonne? Oder haben wir es mit einer globalen chaotischen Dynamik zu tun? Wie können wir das erratische, von einem chaotischen Attraktor erzeugte Verhalten erkennen und es von anderen Ursachen der Unvorhersagbarkeit unterscheiden?

Abb. 4.5 Entwicklung des Eisvolumens der Erde im Laufe geologischer Zeitalter.

Wir kennen nicht a priori die Art und Anzahl der Variablen, die für den etwaigen chaotischen Attraktor bestimmend sind. Im allgemeinen besitzen wir nur eine zeitliche Reihe von Messungen einer einzigen oder einiger weniger Variablen. Die Klimatologen können beispielsweise die Temperaturwerte in einem bestimmten Gebiet der Erde über geologische Zeitalter hinweg rekonstruieren. Unser Problem ist somit eine Umkehrung des Problems, vor dem wir gewöhnlich in der Physik stehen. Zuerst haben wir meistens ein System von Gleichungen, das wir lösen, um die zeitliche Veränderung der darin vorkommenden Variablen zu erhalten (siehe Abb. 4.1-A). Hier haben wir zunächst eine zeitliche Reihe von Werten einer Variablen. Wir benutzen diese Information, um herauszufinden, welche Art von Gleichungen eine solche, Reihe erzeugen könnte.

Es ist nicht schwierig, anhand einer solchen Zeitreihe einen punktförmigen Attraktor zu erkennen: Die Reihe entwickelt sich auf einen bestimmten Wert hin und bleibt dann im Zeitverlauf konstant. Auch ein Grenzzyklus ist leicht zu erkennen. Die Reihe nimmt in diesem Fall ein periodisches Verhalten an, das sich unschwer erkennen läßt Doch eine Folge, die durch einen chaotischen Attraktor mit fraktaler Dimension erzeugt wurde, zeigt keine einfache Periodizität. Dennoch ist es möglich, die Dimension des eventuellen Attraktors zu bestimmen und die Mindestanzahl der beteiligten unabhängigen Variablen festzustellen.

Hier sei kurz die von Grassberger und Proccacia vorgeschlagene Methode skizziert⁴⁶. Zunächst besitzen wir Informationen über eine einzige Variable. Wir nehmen an, daß die Werte, die diese Variable X mit der Zeit angenommen hat, bestimmt werden durch ihre Zusammenhänge mit anderen Variablen, über deren Art und Anzahl wir nichts wissen. Wir wissen aber, daß, sollte die meßbare Variation tatsächlich von einer globalen Dynamik bestimmt sein, die Entwicklung des Systems über die Einführung einer hinreichenden Zahl von Variablen durch ein lineares System mit n Variablen beschrieben werden kann. Dieses System von Gleichungen können wir durch schrittweises Eliminieren umformen in eine einzige nichtlineare Gleichung n-ten Grades, die die beobachtete Variable X als einzige Variable enthält (das heißt eine Gleichung, die die Variable x und ihre ersten n-1 Ableitungen nach der Zeit enthält). Die Lösung dieser Gleichung hängt vom Anfangswert der Variablen und von ihren n-1 Ableitungen ab. Sie hängt, anders gesagt, von den Werten von n Zahlen ab. Diese Werte kennen wir jedoch nicht. Wir können dagegen aus unserer Wertereihe verschiedene Reihen von Daten konstruieren, die bei gleichem zeitlichen Abstand jeweils zeitlich versetzt beginnen. Wir variieren nun die Anzahl d der Reihen, in der Annahme, daß sie unabhängig voneinander bleiben, solange d kleiner als oder gleich n ist, der Anzahl der an der hypothetischen globalen Dynamik beteiligten Variablen. Für d größer als n erwarten wir dagegen, Korrelationen zwischen den Reihen zu finden. Die Methode besteht also darin, den kritischen Wert von d herauszufinden, oberhalb dessen Korrelationen zwischen den Daten auftreten. Dieser kritische Wert gibt uns die Dimension n des unbekannten Systems, und die Dimension des Attraktors, gleich, ob er fraktal ist oder nicht, wird kleiner als n sein.

Was geschieht nun, wenn die Reihen, die wir untersuchen, nicht auf einer globalen Dynamik, sondern auf einem wirklich zufallsbedingten Prozeß beruhen? In diesem Fall können wir d beliebig erhöhen, eine Korrelation wird sich nicht ergeben. Der zeitlichen Variation der Observablen liegt dann kein deterministisches Schema zugrunde. Von einer zeitlichen Entwicklung, die nicht durch einen Attraktor; sondern durch einen wirklich zufälligen Prozeß erzeugt wird, sagen wir, sie sei durch eine unendliche Anzahl von Dimensionen charakterisiert.

Diese Methode, zwischen »wirklichem Zufall« und »deterministischem Chaos« zu unterscheiden, haben G. und C. Nicolis auf die KIimaänderung angewandt, die die Geschichte unseres Planeten geprägt hat. Sie untersuchten die sich über 900000 Jahre erstreckende Reihe von Temperaturen, die sich erschließen läßt aus dem Gehalt der unterschiedlichen Sauerstoffisotope in Sedimenten aus der Äquatorialzone des Pazifiks⁴⁷. Ihre Analyse mündet in die Feststellung, daß die Reihe tatsächlich durch einen chaotischen Attraktor von niedriger Dimension erzeugt wurde. Dieses Ergebnis eröffnet interessante Perspektiven. Die lokalen Temperaturen sind das Resultat einer großen Anzahl von Variablen, angefangen vom Salzgehalt des Wassers über die Sonnenfiecken bis hin zu den Vulkanausbrüchen und so weiter, wobei jede dieser Variablen ihrerseits einer statistischen Verteilung unterliegt. Die Analyse der Daten deutet jedoch darauf hin, daß einige unabhängige Variablen genügen könnten, um die langfristige Änderung des Erdklimas zu erklären! Dies ist ein sehr beeindruckendes Beispiel für die neue Situation, die wir eingangs dieses Kapitels unterstrichen haben. Wir sind außerstande, a priori zu entscheiden, was einfach und was komplex ist. So wie die erzwungene Bewegung des Pendels durch unerwartete komplexität gekennzeichnet ist, könnte man in Situationen, wo wir ein komplexes Wechselspiel vieler Faktoren erwartet hätten, eine unerwartete Einfachheit entdecken.

Auf vielen Gebieten der Wissenschaft werden jetzt ähnliche Untersuchungen durchgeführt. So wurden mit der eben skizzierten Methode Daten untersucht, die aus Messungen der Hirnaktivität mit Hilfe des Elektroenzephalogramms gewonnen wurden⁴⁸. Die Hirnaktivität weist im Tiefschlaf Züge des deterministischen Chaos auf und ist durch einen fraktalen Attraktor von fünf unabhängigen Variablen charakterisiert. Im Wachzustand läßt sich dagegen kein Attraktor von endlicher Dimension feststellen. Was die elektrische Aktivität betrifft, haben wir es also mit wirklichem Zufall zu tun. Das ist nicht erstaunlich. Wenn das Gehirn mit seiner Umgebung interagiert, kann die Hirnaktivität nicht mehr als ein dynamisch selbsterzeugtes System dargestellt werden. Bei epileptischen Anfällen tritt schließlich ein fraktaler Attraktor von zwei unabhängigen Variablen auf. Die Epilepsie kann also nicht mit einem unregelmäßigen Verhalten gleichgesetzt werden, sondern ist vielmehr gekennzeichnet durch eine allzu große »Regelmäßigkeit«. So gesehen, ist »geistige Gesundheit« gewissermaßen krankhaft, oder um es mit dem französischen Dichter Paul Vale'ry zu sagen: »Das Gehirn ist die Instabilität selbst. «⁴⁹ Diese Instabilität ist sicherlich kein Zufall, sondern Ausdruck der Bedeutung, den die biologische Evolution unserem Zentralnervensystem beigemessen hat, unserer empfindlichsten »Schnittstelle« mit der Außenwelt.

Wir sind jetzt sehr weit von der vorhersagbaren Welt entfernt, in der die punktförmigen Attraktoren regieren, die in der Gleichgewichtsphysik vorherrschten. Heute machen Attraktoren die Vielfalt der Verhaltensweisen deutlich, die dissipative Systeme zeigen können. Sie veranlassen uns, nicht mit Verallgemeinerungen, sondern fragend an die Natur heranzugehen. Je nach den Umständen kann ein System ein vorhersagbares oder ein chaotisches Verhalten zeigen. Lebende Systeme scheinen diese Vielfalt voll auszuschöpfen. Während einige Mechanismen der Stoffwechselregulation mit Grenzzyklen arbeiten⁵⁰ , sind chaotische Attraktoren an der Hirnaktivität beteiligt. So finden wir in einem einzigen Lebewesen den Kontrast, der Aristoteles einen Gegensatz zwischen dem Himmel und der sublunaren Welt annehmen ließ. Bis zu einem gewissen Grad bleibt dieser traditionelle Kontrast gültig: Während wir die Stellung der Erde zur Sonne auf Millionen Jahre im voraus bestimmen können, beschränkt sich die Wettervorhersage auf Tage oder Wochen. Inzwischen verstehen wir aber; daß es sich bei diesem Kontrast nicht um einen Gegensatz zwischen zwei Welten handelt, denn er kann sich einfach aus der jeweiligen Dynamik ergeben. Der Umlauf der Erde um die Sonne wird im wesentlichen von einem stabilen dynamischen Zweikörpersystem bestimmt. Die Dynamik der atmosphärischen Wellen (Bildung von Zyklonen und Antizyklonen) ist offenbar gekennzeichnet durch einen chaotischen Attraktor mit sieben unabhängigen Variablen, deren Verhalten sich heute auf drei Wochen im voraus vorhersagen läßt. Was die örtliche Wettervorhersage angeht, enthalten die besten derzeit benutzten Modelle rund 600000 Variablen, und der Fehler verdoppelt sich innerhalb von drei Tagen!