Die Botschaft der Entropie

Die beiden vorangehenden Kapitel waren der makroskopischen Physik gewidmet. Wir haben uns bemüht, den Leser davon zu überzeugen, daß wir die Welt, die uns umgibt, nicht beschreiben können, wenn wir nicht die konstruktive Rolle der Zeit berücksichtigen. Beim Übergang zur mikroskopischen Welt darf dieser wesentliche Aspekt nicht verlorengehen. Wir haben schon beschrieben, wie Boltzmann sich bemühte, den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in die klassische Physik zu integrieren. Wir haben gesehen, daß er zu dem Schluß kam, die der Thermodynamik inhärente Irreversibilität sei nicht mit den reversiblen Gesetzen der Dynamik zu vereinbaren. Boltzmann entschloß sich, der Dynamik treu zu bleiben, und bezeichnete eine durch die Thermodynamik verbotene Entwicklung nicht als unmöglich, sondern lediglich als unwahrscheinlich. Bergson bestätigte diese Niederlage. Er erklärte, die Physik könne nicht anders, als die Zeit zu leugnen und das Werden auf die Wiederholung des immer Gleichen zu reduzieren.

Für Boltzmann war es eine dramatische Niederlage, für Bergson der Ausgangspunkt für eine Erneuerung der Metaphysik. Doch in einem stimmten der Physiker und der Philosoph überein: Beide hielten das Urteil, das die Physik im Namen der klassischen Dynamik ausgesprochen hatte, für endgültig. Die Physik fast des ganzen 20.Jahrhunderts schien ihnen recht zu geben, denn sowohl die Relativitätstheorie als auch die Quantenmechanik leugneten, genau wie die klassische Dynamik, weiterhin den Pfeil der Zeit. Inzwischen hat sich aber ein einschneidender Wandel vollzogen. Als Zeugen dieses Wandels möchten wir Sir James Lighthill zitieren, der 1986, damals Präsident der International Union of Theoretical and Applied Mechanics, feierlich erklärte: »Hier muß ich innehalten und im Namen der großen Bruderschaft der Praktiker der Mechanik sprechen. Wir sind uns heute sehr der Tatsache bewußt, daß die Begeisterung, die unsere Vorgänger für den phantastischen Erfolg der Newtonschen Mechanik empfanden, sie auf diesem Gebiet der Vorhersagbarkeit zu Verallgemeinerungen verleitet hat, an die wir vor 1960 möglicherweise allgemein geglaubt haben, die wir aber inzwischen als falsch erkannt haben. Wir möchten uns gemeinsam dafür entschuldigen, daß wir das gebildete Publikum in die Irre geführt haben, indem wir bezüglich des Determinismus von Systemen, die den Newtonschen Bewegungsgesetzen genügen, Ideen verbreitet haben, die sich nach 1960 als inkorrekt erwiesen haben.«⁵⁵

Das ist ein recht ungewöhnliches Bekenntnis. Wissenschaftshistoriker sind vertraut mit »Revolutionen«, in deren Verlauf eine Theorie widerlegt wird, während eine andere sich durchsetzt. Daß Fachleute zugeben, sie hätten sich über die Reichweite und die Bedeutung ihrer Theorie drei Jahrhunderte lang getäuscht, ist wirklich selten. Die Erneuerung, die unsere älteste Naturwissenschaft seit einigen Jahrzehnten erlebt, ist denn auch in der Wissenschaftsgeschichte einmalig. Der Determinismus, der lange geradezu als Inbegriff des wissenschaftlichen Erklärungsmodells galt, ist zu einer Eigenschaft geschrumpft, die nur in besonderen Fällen gültig ist. Zudem bekommen die Wahrscheinlichkeiten, die Boltzmann notgedrungen zu einem Ausdruck unserer Unwissenheit machte, jetzt eine objektive Bedeutung.

Im vorigen Kapitel sprachen wir von der exponentiellen Divergenz der Trajektorien hochgradig instabiler chaotischer Systeme, die in einem positiven Ljapunow-Exponenten zum Ausdruck kommt. Wir erwähnten auch den Begriff des Zeithorizonts, jenseits dessen man das Verhalten eines chaotischen Systems nicht mehr durch individuelle Trajektorien beschreiben kann. Wir werden noch auf diese Ideen zurückkommen, um die sich auch Lighthills Artikel dreht. Dort hatten wir es jedoch mit makroskopischen Systemen zu tun, die aus einer riesigen Anzahl wechselwirkender Teilchen bestehen, mit Systemen, die durch individuelle Trajektorien zu beschreiben aussichtslos ist. Auch das Modell, das Boltzmann wählte, um den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik zu erläutern, enthält eine große Zahl von Teilchen. In solchen Situationen mußten die Physiker zu Näherungen greifen, und es konnte ihnen daher gerechtfertigt erscheinen, die Irreversibilität zum Resultat der Näherungen zu machen. Heute erkennen wir jedoch, daß die Begriffe des chaotischen Verhaltens und des Zeithorizonts auch für einfache dynamische Systeme gelten, die wir; ohne Näherungen einzuführen, exakt beschreiben können.

Das Auftreten des Chaos auf der mikroskopischen dynamischen Ebene hat weitreichende Folgen. Es ist der eigentliche Grund, warum wir die traditionelle Beschreibung aufgeben und zu einer probabilistischen Beschreibung übergehen müssen. Dies führt dann wiederum zur Brechung der zeitlichen Symmetrie.

Ein bekanntes Beispiel einer probabilistischen Beschreibung, in dem die zeitliche Symmetrie gebrochen wird, ist der »Random Walk«, ein idealisiertes, aber dennoch erfolgreiches Modell der Brownschen Bewegung⁵⁶. Den einfachsten Fall stellt ein eindimensionaler Random Walk dar, bei dem ein Brownsches Teilchen in regelmäßigen Zeitintervallen einen einstufigen Übergang macht (Abb. 5.1). Die Wahrscheinlichkeit, daß es beim nächsten Schritt nach links beziehungsweise nach rechts geht, beträgt jeweils, Das Teilchen geht einen völlig unregelmäßigen Weg. Natürlich können wir die Wahrscheinlichkeit einer gegebenen »Trajektorie« berechnen (sie kann beispielsweise vom Ursprung 0 nach 1 führen, von dort weiter 1 ).

Abb. 5.1 Der Random Walk: An jedem Punkt, hier -2, kann das Teilchen nach links (-3) oder nach rechts (-1) gehen.

Wir kommen jedoch viel weiter, wenn wir Ensembles betrachten, Gesamtheiten von Brownschen Teilchen. Wir finden, daß das Verhalten dieser Teilchen deterministischen Gesetzen gehorcht. Während wir für den einzelnen Schritt des Random Walk nur eine probabilistische Vorhersage machen können, verhält sich das Ensemble deterministisch. Wir wollen also die Wahrscheinlichkeit einführen, ein Teilchen nach N Schritten zur Zeit t am Punkt x anzutreffen. Es ist recht bemerkenswert, daß diese Funktion einer eindimensionalen Diffusionsgleichung entspricht, die aus der makroskopischen Physik gut bekannt ist. Wenn wir von nichtgleichförmigen Anfangsbedingungen - nicht konstant - ausgehen, beschreibt diese Gleichung die Annäherung an die Gleichförmigkeit.

Die Diffusionsgleichung hat eine gebrochene zeitliche Symmetrie. Sie beschreibt eine irreversible Annäherung ans Gleichgewicht. Von unserem Ziel sind wir jedoch noch weit entfernt, da die Irreversibilität in diesem Fall daher rührt, daß wir auf der mikroskopischen Ebene (des Random Walk) Übergangswahrscheinlichkeiten einführen. Wir gehen bereits von einer probabilistischen Beschreibung aus. Die bemerkenswerte Tatsache ist, daß es Klassen von dynamischen Systemen mit deterministischer Bewegungsgleichung gibt, die ganz ähnliche Merkmale aufweisen.

Im Modell der Brownschen Bewegung benutzten wir eine »diskrete Zeit«. Systeme, in denen Veränderungen in diskreten Schritten erfolgen, nennt man »diskrete Abbildungen«. Die Erforschung von Abbildungen steht heute in voller Blüte. Der Grund ist, daß die theoretische Untersuchung solcher Systeme sehr viel einfacher ist als die von Systemen, in denen die Zeit stetig verläuft. Darum besprechen wir in diesem Kapitel zwei Beispiele von Abbildungen, die »Bernoulli-Abbildung« und die »Bäcker-Transformation«. Beide Beispiele führen, wie man sehen wird, zu einem positiven Ljapunow-Exponenten und damit zum Chaos. In beiden Fällen wird es nötig sein, zu einer probabilistischen Beschreibung überzugehen. Anhand dieser Beispiele können wir bereits einige interessante Bemerkungen über das Problem der Irreversibilität und ihren Zusammenhang mit den Bewegungsgleichungen vortragen. Doch erst im 11.Kapitel werden wir eine ausführliche Darstellung unserer Methoden geben, die für chaotische Systeme die zeitlich reversiblen Bewegungsgleichungen mit der Annäherung ans Gleichgewicht und demnach mit dem Gesetz der Entropiezunahme in Einklang bringen.

Abb. 5.2 Entwicklung der Wahrscheinlichkeit, das einer Diffusionsgleichung folgende Brownsche Teilchen anzutreffen.

Warum die Entropie? Welcher Physiklehrer hat sich nicht schon diese Frage gestellt! Wir können jetzt eine Antwort geben: Die Zunahme der Entropie ist ein Ausdruck der chaotischen Eigenschaften der zugrunde liegenden Dynamik. Dies ist ein Punkt, auf den wir des öfteren zurückkommen werden.