Die Bernoulli-Abbildung

Wir wollen nun das einfachste Beispiel eines chaotischen Systems betrachten, die sogenannte Bernoulli-Abbildung. Wir verdoppeln in regelmäßigen Zeitintervallen den Wert einer Zahl, sagen wir x, aber so, daß er zwischen 0 und 1 bleibt, das heißt, wir nehmen die Zahl »modulo 1« (wenn die Zahl größer als 1 ist, subtrahieren wir 1). Wir erhalten so die Abbildung , dargestellt in Abb. 5.3. Dies entspricht der »Bewegungsgleichung« für die Bernoulli-Abbildung.

Abb. 5.3 Bernoulli-Abbildung: Jeder Punkt auf den durchbrochenen Linien ist definiert durch seinen Wert .

Man beachte, daß die Bewegungsgleichung deterministisch ist. Sobald wir kennen, ist eindeutig bestimmt. Wir haben hier ein Beispiel des »deterministischen Chaos«. Wir können, ausgehend von einer beliebigen Zahl, die entstehenden Sequenzen nachprüfen (zum Beispiel 0,13; 0,26; 0,52; 0,04; 0,08; 0,16; 0,32; 0,64; 0,28;...). Beginnen wir nicht mit 0,13, sondern mit 0,14, so erhalten wir nach der gleichen Anzahl von Schritten 0,84, ganz verschieden von 0,28. Wir können mit einem beliebigen Anfangswert die Bewegungsgleichung lösen, doch ist diese Lösung nicht brauchbar, weil zwei beliebig eng benachbarte Anfangswerte mit wachsendem n divergierende Resultate ergeben.

In Abb. 5.4 sehen wir das Resultat einer numerischen Simulation. Die Trajektorie ist wie im Fall der Brownschen Bewegung erratisch.

Es ist leicht einzusehen, warum zwei beliebig eng benachbarte Punkte mit der Zeit divergieren. Wir wollen x nun in einer binären Schreibweise darstellen: , wobei oder 1 ist (wir führen negative Indizes ein, in Anknüpfung an die in Abschnitt 3 erörterte Bäcker-Transformation). Jede Zahl x wird auf diese Weise dargestellt durch eine Reihe von Ziffern, die entweder 0 oder 1 sind. Es ist leicht nachzuprüfen, daß die Abbildung der Verschiebung entspricht (so ist ). Die Abbildung verschiebt die Zahl nach links; da der Wert jeder Ziffer in der eine Zahl repräsentierenden Reihe von den anderen unabhängig ist, kann man das Ergebnis der aufeinander folgenden Verschiebungen mit dem eines Münzwurfs vergleichen. Deshalb bezeichnet man dieses System als »Bernoulli-Verschiebung«, zur Erinnerung an den großen Mathematiker des 18.Jahrhunderts, der die Glücksspiele untersucht hat. Wir erkennen auch die Bedeutung der »Empfindlichkeit für die Anfangsbedingungen«: Zwei Zahlen, die anfangs nur geringfügig differieren (sagen wir, um , also um weniger als !), werden nach 40 Schritten um differieren. Wir können sogar einen positiven Ljapunow-Exponenten definieren, dessen Wert 2 ist, da x sich bei jedem Schritt verdoppelt.

Abb. 5.4 Zwei Trajektorien, erhalten durch Iteration der Bernou11i-Transformation. Die Ausgangspunkte sind nahezu die gleichen, doch nach einigen Schritten unterscheiden sich die Trajektorien vollkommen (Simulation durch Dean Driebe).

Man beachte, daß diese Abbildung nicht umkehrbar ist. Sie entspricht von Anfang an einer bevorzugten Zeitrichtung; wenn wir statt die umgekehrte Abbildung betrachten, finden wir einen einzigen punktförmigen Attraktor, der entspricht. Die zeitliche Symmetrie ist bereits auf der Ebene der Bewegungsgleichung gebrochen. Dies kontrastiert mit dynamischen Systemen, deren Bewegungsgleichungen reversibel sind. Nichtumkehrbare Systeme wie die Bernoulli-Abbildung werden in der Literatur als »exakte Systeme« bezeichnet⁵⁷.

Wir möchten darauf aufmerksam machen, daß die zeitliche Entwicklung eines solchen chaotischen Systems trotz seiner deterministischen Bewegungsgleichung nicht durch Trajektorien beschrieben werden kann. Eine Trajektorie ist, wie Pierre Duhem schon 1906 betonte⁵⁸, nur dann eine angemessene Darstellungsform, wenn sie bei geringfügiger Variation der Anfangsbedingungen »annähernd gleich« bleibt. Genau diese »Robustheit« ist für die Beschreibung chaotischer Systeme durch Trajektorien nicht gegeben. Eben das bedeutet »Empfindlichkeit für die Anfangsbedingungen «. Zwei anfangs beliebig eng benachbarte Trajektorien divergieren mit der Zeit exponentiell. Die Fragen, die wir an ein System stellen, sind nur dann physikalisch sinnvoll, wenn sie robuste Antworten haben. Deshalb müssen wir in solchen Situationen auf eine für beliebige Zeiten gültige statistische Beschreibung zurückgreifen.

Abb. 5.5 Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der Bernoulli-Abbildung (Simulation durch Dean Driebe).

Wir führen daher die Wahrscheinlichkeit ein, eine Trajektorie nach n Iterationen am Punkt x anzutreffen. Schreiben wir : Die Wahrscheinlichkeit nach Iterationen wird erhalten als Effekt einer Operation an . Die explizite Form von beschreiben wir im 10.Kapitel. Hier schon einige vorläufige Ergebnisse. Durch Iteration der Beziehung erhalten wir die Lösung , wobei die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, mit der wir beginnen. In Abb. 5.5 sehen wir das Resultat der Iteration an einem spezifischen Beispiel.

Wie wir sehen, tendiert rasch zu einer Konstanten, was der Annäherung an eine Gleichgewichtssituation entspricht. Wie bei der Brownschen Bewegung ist das langfristige Resultat für . Wir möchten jedoch noch mehr wissen. Wie schnell wird das Gleichgewicht erreicht? Wie ist das Verhältnis zum Ljapunow-Exponenten? Zur Beantwortung dieser Fragen müssen wir geeignete Instrumente einführen. Dies wird in den folgenden Kapiteln geschehen. Doch der wesentliche Punkt sollte schon hier deutlich werden: Für chaotische Systeme müssen die Naturgesetze so formuliert werden, daß sie statt individueller Trajektorien die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben.