Die Bäcker-Transformation

In dynamischen Systemen spielen die Zukunft, +t, und die Vergangenheit, -t, in den Bewegungsgleichungen eine symmetrische Rolle. Die zeitliche Entwicklung solcher dynamischen Variablen wie Ort oder Geschwindigkeit ist durch die Bewegungsgleichungen bestimmt. Diese Variablen können als Koordinaten eines »Phasenraums« aufgefaßt werden. In diesem Raum wird jeder Zustand des Systems durch einen Punkt, seine zeitliche Entwicklung durch eine Trajektorie dargestellt. Betrachten wir eine Gesamtheit solcher Punkte, die ein Volumen im Phasenraum einnehmen. Dies würde einem Ensemble entsprechen, einer Gesamtheit von Systemen, die bei unterschiedlichen Anfangsbedingungen durch die gleichen Bewegungsgleichungen beschrieben werden. Es ist nun eine grundlegende Eigenschaft der dynamischen Entwicklung, daß das von dem Ensemble eingenommene Phasenraumvolumen konstant bleibt (siehe 6.Kapitel). Dies folgt aus dem Liouville-Theorem der klassischen Dynamik, auf das wir wiederholt zurückkommen werden (siehe Abb. 5.6).

Es muß betont werden, daß das Volumen im Phasenraum zwar erhalten bleibt, seine Form sich jedoch ändern kann. Da bei chaotischen Systemen zwei anfangs beliebig eng benachbarte Trajektorien mit der Zeit exponentiell divergieren, wird das Ausgangsvolumen stark fragmentiert und zu einer Art von geometrischem Monster (Abb. 5.7).

Das einfachste Beispiel einer Abbildung, die diese Eigenschaften mit den dynamischen Systemen teilt, ist die »Bäcker-Transformation«. Der Phasenraum hat in diesem Fall nur zwei Dimensionen; er ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1. Die Regel, der die Bäcker-Transformation folgt, ist ganz einfach (Abb. 5.8). Sie kann als eine Verallgemeinerung der in Abschnitt 2 dargestellten Bernoulli-Abbildung betrachtet werden. Zunächst wird das Quadrat zu einem Rechteck mit der Länge 2 und der Höhe zusammengedrückt, dann zerschnitten und die rechte Hälfte über die linke gesetzt, so daß wieder ein Quadrat entsteht. Wie man sofort feststellen kann, bleibt die Fläche erhalten (wir haben es mit einem zweidimensionalen System zu tun). Angenommenmen, die Ausgangspunkte liegen im unteren Teil des Quadrats. Nach einer Transformation werden sie in zwei verschiedenen Streifen liegen, doch die Fläche bleibt gleich. Die Transformation ist im übrigen reversibel: Die umgekehrte Transformation, die das Quadrat zu einem Rechteck mit der Länge und der Höhe 2 verformen würde, würde jeden Punkt wieder in seine Ausgangslage zurückbringen (Abb. 5.9).

Abb. 5.6 Erhaltung der Fläche im zweidimensionalen Phasenraum, gefordert durch das Liouville-Theorem (p Im puls, q Ortskoordinate).

Die Bewegungsgleichungen sind wie bei der Bernoulli-Abbildung sehr einfach; die Koordinaten werden für zu , für zu . Um die inverse Bäcker-Transformation zu erhalten, brauchen wir nur x und y zu vertauschen.

Betrachten wir nun eine Folge von Bäcker-Transformationen. Wir haben hier wieder ein Beispiel eines instabilen dynamischen Systems, das Duhems Robustheitsbedingung nicht erfüllt. Nehmen wir doch irgendein Gebiet des Phasenraums. Gleichgültig, wie groß es ist, in der Zukunft wird es stets in waagerechte Streifen zerlegt sein. Das heißt, daß zwei anfangs beliebig eng benachbarte Punkte divergenten Trajektorien folgen werden. Es ist daher keine Überraschung, daß die Bäcker-Transformation einen positiven Ljapunow-Exponenten hat, der; wie wir gesehen haben, das Kennzeichen chaotischen Verhaltens ist.

Abb. 5.7 Deformation der Gestalt bei Erhaltung der Fläche als Ergebnis der Divergenz.

Abb. 5.8 Die Bäcker-Transformation.

Bei der Bäcker-Transformation spielen die beiden Koordinaten eine unterschiedliche Rolle. Die waagerechte Koordinate ist die »sich dehnende Koordinate«. Sie spielt die gleiche Rolle wie die Koordinate im Fall der Bernoulli-Abbildung in Abschnitt 2. Aber hier bleibt die Fläche erhalten, da wir zugleich eine »schrumpfende« Koordinate haben: In der Richtung der senkrechten Koordinate rücken die Punkte zusammen, wenn das Quadrat zu einem Reckteck zusammengedrückt wird. Da der Abstand zwischen zwei Punkten längs der waagerechten Koordinate sich mit jeder Transformation verdoppelt, wird er nach n Transformationen um einen Faktor multipliziert sein. Wir können umformulieren als . Da die Anzahl n der Transformationen die Zeit mißt, ist der Ljapunow-Exponent einfach , wie bei der in Abschnitt 2 betrachteten Bernoulli-Abbildung. Ein zweiter Ljapunow-Exponent, der den Wert hat, entspricht der schrumpfenden Richtung⁵⁹.

Abb. 5.9 Die umgekehrte Bäcker-Transformation.

Abb. 5.10 Dispersion eines anfänglichen Punkteensembles durch Iteration der Bäcker-Transformation. Wie bei der Bernoulli-Abbildung führt Iteration zu einem hochgradig diffusen Verhalten (Simulation durch Dean Driebe).

5.10-A

5.10-B

Ungeachtet der Tatsache, daß die Bäcker-Transformation wie alle dynamischen Systeme umkehrbar ist, sind die Entwicklungen für und für verschieden. Für erhalten wir waagerechte Streifen (siehe Abb. 5.8), während wir für senkrechte Streifen erhalten (siehe Abb. 5.9). Diese Unterscheidung wird sehr wichtig sein, wenn wir die Formulierung der Naturgesetze unter Einbeziehung der Brechung der zeitlichen Symmetrie ableiten.

5.10-C

Zeigen wir zunächst, daß die Bäcker-Transformation (siehe auch Abb. 5.10 für ein Punkteensemble) genauso wie die Bernoulli-Abbildung in Abschnitt 2 beschrieben werden kann. Wir drücken also die beiden Koordinaten, die einen Punkt im Phasenraum definieren, durch eine binäre Darstellung aus. Da die Koordinaten zwischen 0 und 1 eingegrenzt sind, werden sie dargestellt durch eine 0, gefolgt von einer Reihe von Ziffern, die jeweils entweder 0 oder 1 sind. Betrachten wir die Menge aller Punkte, deren waagerechte Koordinate einer Zahl entspricht, deren erste Ziffern 0,01 lauten. Der Wert 0,0 bedeutet, daß diese Punkte zur linken Seite des Quadrats gehören. Der Wert 1 der nächsten Ziffer besagt, daß sie zur rechten Hälfte dieser linken Seite gehören. Verfolgen wir nun (Abb. 5.11), wie sich die Bäcker-Transformation auf diese Menge von Punkten auswirkt. Alle finden sich wieder in dem Gebiet, das durch den Wert 0,1 der ersten Ziffer der waagerechten Koordinate gekennzeichnet ist, zugleich aber durch den Wert 0,0 der ersten Ziffer der senkrechten Koordinate. Wären wir von den Punkten ausgegangen, deren waagerechte Koordinate durch die erste Ziffer 0,10 definiert ist, so läßt sich leicht zeigen, daß das transformierte Gebiet als erste Ziffer der waagerechten Koordinate den Wert 0,0, als erste Ziffer der senkrechten Koordinate den Wert 0,1 hätte. Abb. 5.12 zeigt, wie sich die Bäcker-Transformation auf eine Menge von Punkten auswirkt, die definiert ist durch eine senkrechte Koordinate, deren erste Ziffern 0,01 sind. Jetzt erzeugt die Transformation zwei Gebiete, deren senkrechte Koordinaten mit den Ziffern 0,001 bzw. 0,101 beginnen. Dies bestätigt, daß der Wert der ersten Ziffer der neuen, schrumpfenden Koordinate dem Wert der ersten Ziffer der sich dehnenden Koordinate vor der Transformation entspricht.

Abb. 5.11 Transformation des durch den Wert 0,01 definierten Bereichs der Dehnungskoordinate.

Abb. 5.12 Transformation des durch den Wert 0,01 definierten Bereichs der Schrumpfungskoordinate.

Wir sehen, anders gesagt, daß die erste Ziffer der waagerechten, sich dehnenden Koordinate zur ersten Ziffer der senkrechten, schrumpfenden Koordinate wird, während die zweite Ziffer der waagerechten Koordinate zur ersten wird.

Wir wollen nun jeden Punkt durch die umgekehrte Doppelfolge der Ziffern seiner Koordinaten (wiederum unter Vernachlässigung von 0) darstellen: ( ist die erste Ziffer der sich dehnenden Koordinate, die durch die negativen Indizes gekennzeichnet ist). Der Leser kann anhand einfacher Beispiele, wie wir sie beschrieben haben, nachprüfen, daß die Bäcker-Transformation durch eine Verschiebung der Indizes in den umgekehrten Folgen dargestellt werden kann. Eine Ziffer der neuen Folge wird nach einer Transformation den Wert der Ziffer der ursprünglichen Folge haben. Wir erhalten daher wieder die Bernoulli-Abbildung . Die »sich dehnenden« Ziffern rücken also um eine Stelle auf (die zweiten werden zu den ersten), während die »schrumpfenden« Ziffern um eine Stelle nach hinten rücken (die ersten werden zu den zweiten).

Die als eine »Bernoulli-Verschiebung« dargestellte Bäcker-Transformation ist, genau wie die Bernoulli-Abbildung, ein Gemisch aus qualitativ verschiedenen Trajektorien. »Überall« im Phasenraum finden wir Punkte, deren Koordinaten in binärer Darstellung einer periodischen Folge der Zahlen 0 und 1 (rationalen Zahlen) entsprechen. Diese Punkte führen zu periodischen Trajektorien. Die übrigen Punkte, die nichtperiodischen Folgen entsprechen, gehören zu »ergodischen« Trajektorien, die den ganzen Phasenraum »ausfüllen«. Periodische Trajektorien sind somit die Ausnahme, da sie auf rationalen Zahlen beruhen.

Des weiteren macht die Bäcker-Transformation deutlich, warum die Begriffe des Punktes und der deterministischen Trajektorie im Falle chaotischer Systeme eine ungerechtfertigte Idealisierung sind. Ausgangszustände sind, aus Beobachtung oder Präparation resultierend, immer nur von endlicher Genauigkeit. Wir müssen ein System daher durch ein endliches Gebiet des Phasenraums definieren, was hier bedeutet, durch eine endliche Folge . Der Wert von n bringt die Größe des »Fensters« zum Ausdruck, durch das wir Zugang zum System haben.

Sehen wir uns nun diese endliche Folge an. Durch die erste Verschiebung rückt eine unbekannte Ziffer an die Stelle . Dies hat eine bedeutende Konsequenz. Entweder akzeptieren wir; daß unser Fenster schrumpft, oder wir sind genötigt, von diesem Schritt an auf Wahrscheinlichkeiten zurückzugreifen: Die Verschiebung hat zwei mögliche Resultate, die beide gleich wahrscheinlich sind, abhängig von dem Wert von .

Mit jeder weiteren Transformation wird die Genauigkeit unserer Beschreibung einmal mehr reduziert: Mehr und mehr unbekannte Ziffern rücken in unser Fensten. Nach 2n+1 Transformationen kann man das System überall im Phasenraum antreffen. Die Information, die der Ausgangszustand enthielt, ist vollkommen verschwunden. Es ist eine interessante Frage, was die Annäherung an das Gleichgewicht für die Bäcker-Transformation bedeutet⁶⁰.

Hier muß eine Unterscheidung zwischen schrumpfenden und sich dehnenden Geraden (oder Fasern) getroffen werden. Ihre besondere Bedeutung rührt daher, daß ihre Länge bei einer Reihe von Bäcker-Transformationen nicht erhalten bleibt. Die Länge der waagerechten, »sich dehnenden« Fasern wird bei jeder Transformation mit 2 multipliziert, während die senkrechten, »schrumpfenden« Fasern um die Hälfte kürzer werden (Abb. 5.13). Mit anderen Worten: Alle zu einer schrumpfenden Faser gehörenden Punkte konvergieren auf die gleiche Zukunft, während die zu einer sich dehnenden Faser gehörenden Punkte im Laufe der Zeit den ganzen Phasenraum dicht ausfüllen werden. Man beachte, daß die Fasern Verteilungen entsprechen, die unstetig sind, in der Koordinate x für schrumpfende und in der Koordinate y für sich dehnende Fasern.

Um in der Zukunft ( ) zum Gleichgewicht zu gelangen, können wir nicht mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beginnen, die sich auf eine schrumpfende Faser beschränkt. Diese Verteilung würde einem einzigen Punkt entgegenstreben. Wir brauchen eine Verteilung, die in der waagerechten Koordinate x stetig ist. Die langfristige Verteilung besteht dann in waagerechten Streifen, die einander mit der Zeit immer näher kommen (siehe Abb. 5.14). Der asvmptotische Gleichgewichtszustand ist daher gleichbedeutend mit einer gleichförmigen Verteilung über die -Ebene, wenn wir Observable betrachten, die in y stetig sind.

Abb. 5.13 Entwicklung einer schrumpfenden Faser (A, B, C) und einer sich dehnenden Faser (A, B, C).

Um die Annäherung an das Gleichgewicht in der Vergangenheit ( ) zu erhalten, brauchen wir Anfangsverteilungen, die in y stetig sind, und Observable, die in x stetig sind.

Der wesentliche Punkt ist, daß wir für die Beschreibung der Annäherung an das Gleichgewicht außer den Bewegungsgleichungen spezifische Bedingungen hinsichtlich der Verteilungen und der Observablen benötigen, die sich im Hinblick auf Vergangenheit und Zukunft unterscheiden.

Im 9.Kapitel werden wir zeigen, daß diese Merkmale zu zwei verschiedenen Beschreibungen der zeitlichen Entwicklung führen, von denen die eine für die Vergangenheit und die andere für die Zukunft gültig ist. Unsere Untersuchung wird sich wie bei der Bernoulli-Verschiebung auf die Entwicklung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen konzentrieren, weil bei Zeiten, die im Vergleich zu dem mit dem Ljapunow-Exponenten verbundenen Zeithorizont groß sind, eine auf Trajektorien gestützte Beschreibung versagt. Zuvor müssen wir den Leser jedoch in den folgenden Kapiteln mit den wesentlichen Methoden der klassischen und der Quantenmechanik bekannt machen. Hier sei uns jedoch schon der Hinweis gestattet, daß es in dynamischen chaotischen Systemen außer der Uhrzeit eine mit dem positiven Ljapunow-Exponenten verknüpfte »innere Zeit« gibt. Unsere Zeit fließt in die Richtung der sich dehnenden Koordinate (siehe Abb. 5.13). Schon in einem so einfachen System wie der Bäcker-Transformation beobachten wir das Auftreten eines evolutionären Musters.

Abb. 5.14 Langfristige Verteilung bei einer in x stetigen Anfangsverteilung.