Die Systeme, die wir im 5.Kapitel untersuchten, waren »diskrete Abbildungen«. Veränderungen vollziehen sich deshalb in diskreten Schritten. Wir kommen jetzt zu dynamischen Systemen, wo die Zeit stetig wirkt. Dies ist die übliche Situation in der klassischen und der Quantenmechanik. Auch dort spielen, wie wir sehen werden, Instabilität und Chaos eine fundamentale Rolle.
Das grundlegende Problem in der klassischen Dynamik ist das Problem der Integration. Wenn wir die Bewegungsgleichungen (siehe Abschnitt 2) haben, möchten wir explizite Ausdrücke für Variablen wie Koordinaten oder Geschwindigkeiten als Funktionen der Zeit erhalten. Henri Poincaré hat gezeigt, daß dies im allgemeinen unmöglich ist. Bevor er gegen Ende des 19.Jahrhunderts diesen Nachweis führte, glaubte man, daß alle dynamischen Systeme gleich seien. Beim Übergang von einfachen Problemen wie dem planetaren Zweikörperproblem zu komplexeren wie dem Dreikörperproblem sollte es angeblich nur »technische Schwierigkeiten« geben. Wir wissen heute, daß dies nicht zutrifft. Es gibt zwei Arten von Systemen, »integrable« und »nichtintegrable Systeme«. Bei den integrablen Systemen können wir, kurz gesagt, die Wechselwirkungen eliminieren und das Problem auf das der freien Bewegung reduzieren. Dann ist es natürlich nicht schwierig, die Orte und Geschwindigkeiten als explizite Funktionen der Zeit zu erhalten. Wir werden uns jedoch hauptsächlich für nichtintegrable Systeme interessieren. Bei nichtintegrablen Systemen werden wir wie im 5.Kapitel - genötigt sein, die Beschreibung durch Trajektorien aufzugeben und zu einer probabilistischen Beschreibung überzugehen.
Auf den ersten Blick könnte es scheinen, als verhalte es sich in der Quantentheorie anders. In Bohrs Atommodell haben wir nämlich anfangs sowohl Gesetze als auch Ereignisse, die einer probabilistischen Beschreibung unterliegen. Einerseits gibt es die Quantenbahnen, zu denen man durch eine Erweiterung der klassischen Bewegungsgesetze gelangt, andererseits Quantensprünge, die Ereignisse darstellen. In der gegenwärtigen Standard-Quantentheorie kommen Ereignisse dagegen nicht vor. Die fundamentale Gleichung, die Schrödinger-Gleichung, ist deterministisch und zeitlich reversibel. Ereignisse werden hier auf unsere Messungen zurückgeführt. Für Stochastizität und Irreversibilität sollen unsere Beobachtungen verantwortlich sein. Diese Folgerung der Quantenmechanik hat unzählige Kontroversen ausgelöst61.
Doch erkenntnistheoretische Probleme sind nicht die einzigen Schwierigkeiten, die der Quantenmechanik zu schaffen machen. Während in der klassischen Dynamik, wie schon erwähnt, die Integration das zentrale Problem ist, ist es in der Quantenmechanik die Lösung eines »Eigenwertproblems« für eine physikalische Größe (eine »Observable«) wie die Koordinate, die Geschwindigkeit oder die Energie. Ist dieses Problem gelöst, können wir dieser physikalischen Größe bestimmte numerische Werte zuordnen. Dies ist der Ansatz, der auf Heisenberg zurückgeht, und der Ausgangspunkt der gegenwärtigen Quantentheorie. Dieser Ansatz, der das Quantengegenstück zum klassischen Problem der Integration ist, war bislang aber nur teilweise erfolgreich. Der Grund für diese Einschränkung ist, wie wir sehen werden, wiederum das Poincaré-Theorem. Auch in der Quantentheorie haben wir ebenfalls zwei Arten von Systemen, solche, bei denen das Eigenwertproblem lösbar ist, und solche, bei denen das nicht möglich ist, zumindest nicht durch Störungsentwicklungen.
Klassische und Quantenmechanik leiden also, vom Problem der Rolle der Zeit ganz abgesehen, an ernsthaften Beschränkungen. Unsere Methoden sind daher nicht nur von »ideologischem« Interesse, insofern sie gestatten, die Irreversibilität einzubeziehen, sondern sie schließen auch eine Lücke. Statt individuelle Trajektorien (oder in der Quantenmechanik, Wellenfunktionen) zu betrachten, werden wir wie im 5.Kapitel einen probabilistischen Ansatz verfolgen, der auf Ensembles von Trajektorien (oder Wellenfunktionen) anwendbar ist. Wie schon erwähnt, benötigen wir für die Einbeziehung solcher Eigenschaften wie die Annäherung an das Gleichgewicht zusätzliche Bedingungen hinsichtlich der Verteilungsfunktionen und Observablen (siehe 5.Kapitel, Abschnitt 3). Dies wird uns zu irreduziblen probabilistischen Beschreibungen führen, also zu probabihstischen Beschreibungen, die eine Beschreibung durch einzelne Trajektorien (oder Wellenfunktionen) ausschließen.