Von Newton zu Hamilton

Das grundlegende Problem der Newtonschen Mechanik besteht darin, mit Hilfe von Newtons berühmter Bewegungsgleichung F=ma, die die Beschleunigung, also die Veränderung des Bewegungszustands, mit der Kraft verknüpft, die Bewegung von wechselwirkenden Körpern zu berechnen.

Die mit einer Trajektorie verbundenen Größen sind die Position r(t), die Geschwindigkeit v, definiert als , und die Beschleunigung . Der wesentliche Punkt ist, daß die Zeit nur durch die zweite Ableitung in Newtons Gleichung Eingang findet. Dadurch bleibt Newtons Gleichung unverändert, wenn wir t durch -t ersetzen. Newtons Gesetz ist der Prototyp eines »Naturgesetzes«: Es ist zeitlich reversibel und deterministisch. Wenn wir die Ausgangspositionen und die Anfangsgeschwindigkeiten haben, können wir die Integration durchführen und die Position sowie die Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt t vor oder nach berechnen.

Fast drei Jahrhunderte lang schien es, als sei die Newtonsche Dynamik ein geschlossenes theoretisches System, das jede Frage, die man ihm stellte, zu beantworten vermochte. Es verstand sich fast von selbst, daß man eine Frage, auf die die Dynamik keine Antwort hatte, als Scheinproblem abtat. Der »Newtonsche« Ansatz definiert die Welt als eine Gesamtheit von Trajektorien und schließt damit jede Unterscheidung zwischen Vergangenheit und Zukunft aus. So wird, wenn eine Trajektorie von A nach B führt, eine andere, gleichermaßen mögliche Trajektorie von B nach A führen (Abb. 6.1).

Gemeinhin wird der Zustand eines dynamischen Systems dargestellt durch die Ortskoordinaten , die unabhängige Variablen sind, und die entsprechenden Geschwindigkeiten , die als Ableitungen der Koordinaten nach der Zeit abhängige Variablen sind. Die moderne Physik verwendet statt der Newtonschen eine »Hamiltonsche« Beschreibung, in der sowohl die Koordinaten als auch die Geschwindigkeiten - genauer die Impulse (sie ergeben sich in einfachen Fällen aus Masse mal Geschwindigkeit) - als unabhängige Variablen auftreten. Der Vorteil besteht in einer großen Vereinfachung der Bewegungsgleichungen.

Die zentrale Größe in der Hamiltonschen Dynamik ist die Hamilton-Funktion . Wir werden hauptsächlich »konservative« Systeme betrachten, in denen H nicht explizit von der Zeit abhängt⁶². In vielen Fällen (etwa bei der Wechselwirkung zwischen Teilchen durch Gravitation) erhält die Hamilton-Funktion daher die Form . Sie ist die Summe aus einer »kinetischen Energie«, die nur von den Impulsen, und einer »potentiellen Energie«, die nur von den Koordinaten abhängt. Die Hamiltonfunktion drückt die Energie des Systems durch die »kanonischen Variablen« p und q aus (wenn ein Mißverständnis ausgeschlossen ist, verzichten wir von nun an auf den Index).

In der Hamiltonschen Beschreibung verdoppelt sich die Zahl der unabhängigen Variablen, aber die Bewegungsgleichungen werden ganz einfach. Betrachten wir ein System aus N Punkten. Jeder der 3N Koordinaten der N Punkte entspricht eine »kanonische« Gleichung von der Form . Und jedem ihrer 3N Impulse entspricht eine »kanonische« Bewegungsgleichung von der Form . Betrachten wir als einen Sonderfall den Fall freier; das heißt nicht wechselwirkender Teilchen. Die Hamilton-Funktion hängt nur von den Impulsen ab (es gibt keine potentielle Energie). Die kanonischen Gleichungen führen daher zu zeitlich konstanten Impulsen und zu Ortskoordinaten, die eine lineare Funktion der Zeit sind. Dies ist natürlich ein »trivialer« Fall, der aber; wie man sehen wird, beim allgemeinen Problem der Integration der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen eine recht erhebliche Rolle spielt.

Abb. 6.1 Äquivalenz zwischen Trajektorien AB und BA.

Die kanonische Formulierung der Bewegungsgleichungen ist eine große Errungenschaft der klassischen Dynamik, da die Bewegungsgesetze darin durch eine einzige Größe, die Hamilton-Funktion H, ausgedrückt werden. Darüber hinaus können wir, wie im 5.Kapitel, einen Phasenraum definieren. Für ein dynamisches System aus N Punkten ist der Phasenraum 6N-dimensional (3N Koordinaten und 3N Impulse). Jeder Zustand des dynamischen Systems kann durch einen Punkt im Phasenraum dargestellt werden. Die Lage des Ausgangspunktes und die Hamilton-Funktion bestimmen vollständig die Trajektorie. Zwei Trajektorien im Phasenraum mit unterschiedlichen Ausgangspunkten bleiben daher für immer verschieden. Jeder Punkt im Phasenraum gilt für eine und nur für eine Trajektorie.

Um nun zum Begriff des »integrablen Systems« zu kommen, betrachten wir den einfachen Fall eines eindimensionalen harmonischen Oszillators (zum Beispiel eines Gewichts, das an einer Feder schwingt). Seine Hamilton-Funktion lautet H= + wobei m die Masse und k die Federkonstante ist, die die Inelastizität der Feder ausdrückt; ist die übliche kinetische Energie und die potentielle Energie, die bei q = 0, der Gleichgewichtsposition der Feder; offensichtlich ein Minimum ist. Die Federkonstante k ist mit der Frequenz v des Oszillators durch die Beziehung verknüpft.

Zur Vereinfachung der Gleichungen können wir statt q, p neue Variablen und J einführen, die gleichfalls den kanonischen Bewegungsgleichungen gehorchen und mit q und p durch die Beziehungen und verknüpft sind. Diese Transformation ähnelt sehr der Transformation aus kartesischen in Polarkoordinaten; nennt man die Winkelvariable, J die Wirkungsvariable und die Kreisfrequenz. Mit diesen Variablen nimmt die Hamilton-Funktion die einfache Form an. Sie hängt nur von dem neuen Impuls, der »Wirkungsvariablen«, ab. Im Fall freier Teilchen gilt daher , das heißt, die Wirkungsvariable J ist eine Bewegungskonstante. Für die Winkelvariable gilt . Ihre zeitliche Entwicklung ist somit eine lineare Funktion der Zeit, .

Den Übergang von den Variablen zu den Variablen bezeichnet man als »kanonische Transformation«. In unserem Fall gestattet die kanonische Transformation, die Wechselwirkung (hier der potentiellen Energie) in der Hamilton-Funktion zu eliminieren. Die Bewegung wird dann ausgedrückt durch die »zyklischen« Variablen , und die Hamilton-Gleichungen werden, wie schon gesagt, besonders einfach. Sie lassen sich jetzt leicht integrieren. In dieser »zyklischen« Darstellung ist die Hamilton-Funktion H nur von den Wirkungsvariablen ; abhängig. Jeder Impuls ist, wie bei der freien Bewegung, eine Invariante , und jeder durch ausgedrückte Ort ist eine lineare Funktion der Zeit: . Die Möglichkeit, die potentielle Energie »wegzutransformieren«, ist nach Poincaré ein grundlegendes Merkmal der integrablen dynamischen Systeme.

Abb. 6.2 Die Winkel- und Wirkungsvariablen als Funktion der kartesischen Koordinaten.

Die Bezeichnung »zyklische Variablen« für die Variablen, die in der Hamilton-Funktion die Wechselwirkungen eliminieren, beruht auf dem periodischen Charakter der Bewegung, der durch sie explizit gemacht wird. Wie wir am Beispiel des harmonischen Oszillators gesehen haben, können die Koordinaten q ja als periodische Funktionen der Winkelvariablen ausgedrückt werden. Wenn das integrable System einen Freiheitsgrad besitzt, kann seine Entwicklung als Bewegung auf einem Kreisumfang dargestellt werden. Für zwei Freiheitsgrade ergibt sich eine Bewegung auf einem Torus (siehe Abb. 6.3).

Die Frequenzen des Systems werden eine sehr wichtige Rolle spielen. Sie sind, wie wir gesehen haben, die Ableitungen der Winkelvariablen , nach der Zeit, gegeben durch die kanonischen Gleichungen . Durch diese Frequenzen kommen wir zum Begriff der Resonanz, der für das Poincaré-Theorem von entscheidender Bedeutung ist.

Abb. 6.3 Entwicklung eines integrablen Systems mit zwei Freiheitsgraden.

Die Erscheinung der Resonanz ist uns allen vertraut. Wenn wir eine Feder aus ihrer Gleichgewichtslage auslenken, schwingt sie mit einer charakteristischen Frequenz. Unterwerfen wir diese Feder nun einer äußeren Kraft, die durch eine variable Frequenz gekennzeichnet ist. Stehen die beiden Frequenzen, die der Feder und die der äußeren Kraft, in einem einfachen numerischen Verhältnis (das heißt, ist eine der Frequenzen gleich der anderen oder 2, 3, 4,... mal größer), so wird die Bewegungsamplitude der Feder dramatisch zunehmen. Wenn die Anstöße, die wir einer Schaukel geben, deren Periode entsprechen, wird die Bewegung der Schaukel verstärkt. Gleiches geschieht in der Musik, wenn wir einen Ton spielen, dessen Frequenz ein gerades Vielfaches der natürlichen Frequenz des Instruments ist. Die Resonanz kann somit charakterisiert werden als eine Energieübertragung zwischen zwei gekoppelten periodischen Bewegungen, deren Frequenzen gleich (oder ein Vielfaches der jeweils anderen) sind.

Betrachten wir nun den Fall eines integrablen Systems mit zwei Freiheitsgraden, dessen Bewegung wir auf einem Torus darstellen können. Es treten zwei Situationen auf. Wenn ist, wobei n und n ganze Zahlen sind, die nicht beide verschwinden, haben wir Resonanz. Dies bedeutet, daß , das heißt, das Verhältnis der Frequenzen ist eine rationale Zahl. Wenn Resonanz gegeben ist, ist die Bewegung auf dem Torus periodisch. Wenn dagegen für beliebige ganze Zahlen n, n von 0 verschieden ist, kehrt der repräsentative Punkt niemals in seine Ausgangslage zurück. Wir haben dann auf dem Torus eine bedingt periodische Bewegung, die eine schraubenförmige Trajektorie beschreibt, welche sich niemals schließt. Bei einem System mit zwei Freiheitsgraden geschieht dies beispielsweise, wenn und irrational ist, wie etwa die Quadratwurzel aus 2.

Eine bedingt periodische Bewegung ist sehr verwickelt. Da ihre repräsentative Trajektorie sich niemals schließt und sich auch nicht schneidet, »füllt« sie nach und nach den ganzen Torus »aus«. Sie durchläuft schließlich jede gewünschte Nachbarschaft eines beliebigen Punktes auf der Torusoberfläche. Solche Bewegungen nennt man »überall dicht«.

Nachdem wir die wesentlichen Züge der Resonanz skizziert haben, können wir uns nun eingehender mit dem Poincaré-Theorem befassen.