Das Poincaré-Theorem: integrable und nichtintegrable dynamische Systeme

Wir kommen nun zu einem der Eckpfeiler der modernen Dynamik, der Unterscheidung zwischen integrablen und nichtintegrablen Systemen. Die Definition eines integrablen dynamischen Systems beruht, wie gesagt, auf der Möglichkeit, die Wechselwirkungen zwischen Teilchen zu eliminieren. Wie bei einem System freier Teilchen hängt die Hamilton-Funktion dann nur von den Impulsen ab. In der Version mit Winkel- und Wirkungsvariablen hängt die Hamilton-Funktion nur von den Wirkungen J ab. Sie hat daher die Form H(J). Aus den Bewegungsgleichungen ergibt sich dann, daß die Wirkungen bewegungsinvariant sind . Dies sind die Systeme, die Poincaré »integrabel« nannte.

Bis zu Poincaré nahm man stillschweigend an, daß alle dynamischen Systeme integrabel seien. 1889 zeigte Poincaré jedoch, daß es generell unmöglich ist, eine kanonische Transformation (unter Beibehaltung der Form der Hamilton-Gleichungen) zu erhalten, die zu zyklischen Variablen führt⁶³. Ein Zweikörpersystem wie das System Erde-Sonne ist in diesem Sinne integrabel, aber wenn ein dritter Körper hinzukommt (etwa das System Erde-Jupiter Sonne), ist es nicht mehr integrabel. Die überwältigende Mehrheit aller dynamischen Systeme ist also nichtintegrabel!

Betrachten wir genauer, wie Poincaré vorging. Er stellte zunächst die Frage, ob es für ein gegebenes dynamisches System eine kanonische Transformation gibt, die von der Hamilton-Funktion zu einer Hamilton-Funktion der Form führt, die nur von den Wirkungsvariablen abhängt (wir weisen darauf hin, daß p, q und J hier für die Gesamtheit der unabhängigen Variablen stehen). Poincaré bezog Störungsverfahren in seine Fragestellung ein. Er ging aus von einer Hamilton-Funktion, die als Summe zweier Terme formuliert war, . Die »freie« Hamilton-Funktion H entspricht einem integrablen System, das einem System freier Teilchen isomorph ist. Diese »freie« Hamilton-Funktion wird dann »gestört« durch das Wechselwirkungspotential , wobei , die »Kopplungskonstante«, ein Parameter ist, der die Stärke der Wechselwirkung ausdrückt.

Poincarés Frage lautete: Ist es möglich, neue Wirkungsvariablen J von der Form Funktionen von J und zu definieren, derart, daß J' sich glatt auf J reduziert, wenn gegen 0 geht? Gesucht wird, genauer gesagt, nach einer Wirkungsvariablen, die in der Kopplungskonstanten »analytisch« ist, also nach einer Funktion von J und , die wir als eine Potenzreihe in ausdrücken können. Dies stellt sicher; daß J' bei kleinem nur gering von J abweicht. Wenn dies möglich ist, können wir die potentielle Energie V des »gestörten Systems« eliminieren und eine neue Hamilton-Funktion einführen, die nur von J' abhängt. Die Integration des gestörten Systems wäre dann ganz einfach, denn die neuen Wirkungen J' wären Bewegungskonstanten. Poincaré zeigte jedoch, daß dies generell unmöglich ist.

Wir sollten an dieser Stelle einmal innehalten und über Poincarés fundamentales Ergebnis nachdenken. Nehmen wir an, Poincaré hätte bewiesen, daß alle dynamischen Systeme integrabel sind. Das hätte bedeutet, daß alle dynamischen Bewegungen im Grunde der Bewegung freier, nicht wechselwirkender Teilchen isomorph sind! Für Kohärenz und Selbstorganisation wäre kein Raum. In einer integrablen Welt wäre kein Raum für das Leben.

Doch Poincaré bewies nicht nur die Nichtintegrierbarkeit, er nannte auch den Grund dafür: die Existenz von Resonanzen zwischen den Freiheitsgraden. Resonanzen bewirken, wie wir gesehen haben, eine starke Kopplung zwischen den Freiheitsgraden. Gesetzt, die Hamilton-Funktion bestehe in der Summe aus einer ungestörten Hamilton-Funktion , die nur von den Wirkungsvariablen und abhängt, und einer Störung, die sowohl von den Wirkungvariablen als auch von den Winkelvariablen und abhängt. Würde verschwinden, wären und Bewegungskonstanten, und wir hätten zwei »ungestörte« Frequenzen, die mit der Hamilton-Funktion verknüpft sind, gegeben durch die kanonischen Gleichungen und . Wenn wir die potentielle Energie in die Hamilton-Funktion einbeziehen, müssen wir Störungsverfahren benutzen, um neue Wirkungsvariablen J' definieren zu können. Dies führt jedoch, wie Poincaré bewies, immer zu Termen mit »gefährlichen« Nennern . Wenn Resonanzen (das heißt Punkte im Phasenraum, wo ist) gegeben sind, divergieren die Terme in der Störungreihe, weil sie endlichen Größen, geteilt durch 0, entsprechen. Der einzige Wert, den wir solchen Termen zuschreiben können, ist Unendlich. Doch wenn in der Physik unendliche Größen auftreten, ist etwas verkehrt!

Das sogenannte »Problem der kleinen Nenner« war schon den Astronomen des 19.Jahrhunderts bekannt, Poincaré's Theorem zeigte, daß diese Schwierigkeit, das Auftreten von Divergenzen in der Lösung des dynamischen Problems, nicht zu umgehen ist und die Einführung zyklischer Variablen für die meisten dynamischen Systeme unmöglich macht, angefangen mit dem Dreikörperproblem.

Was bedeutet das Problem der kleinen Nenner? Max Born hat geschrieben: »Es wäre in der Tat bemerkenswert, wenn die Natur sich gegen weitere Erkenntnisfortschritte hinter den analytischen Schwierigkeiten des Mehrkörperproblems verschanzt hätte.«⁶⁴ Es war wirklich kaum zu glauben, daß eine technische Schwierigkeit (die auf den Resonanzen beruhenden Divergenzen) am Theoriegebäude der Dynamik etwas ändern könnte. Inzwischen sehen wir das Problem jedoch anders. Für uns sind Poincarés Divergenzen ein Glücksfall! Denn indem wir über Poincarés negative Aussage (Nichtexistenz der Wirkungsvariablen J') hinausgehen, das heißt Poincarés Divergenzen eliminieren, beschreiten wir den Weg zur Erneuerung der Dynamik und zur Lösung des Zeitparadoxons.