Die neue Dynamik - die KAM Theorie

Durch die Untersuchungen von Kolmogoroff, die von Arnold und Moser fortgesetzt wurden und in die sogenannte KAM-Theorie mündeten, gelangte man zu der Einsicht, daß das Problem der Nichtintegrierbarkeit nicht, um das Wort von Born abzuwandeln, der frustrierende Ausdruck eines Widerstands der Natur gegen die Fortschritte der Erkenntnis war, sondern ein neuer Ansatzpunkt für die Dynamik.

In der KAM-Theorie geht es um den Einfluß von Resonanzen auf Trajektorien. Hier sei betont, daß der einfache Fall des harmonischen Oszillators, dessen Frequenz eine von den Wirkungsvariablen J unabhängige Konstante ist, eine Ausnahme darstellt: Im allgemeinen hängen Frequenzen vom Wert der Wirkungsvariablen J ab. Sie nehmen an verschiedenen Punkten im Phasenraum unterschiedliche Werte an. Das führt dazu, daß einige Punkte im Phasenraum eines dynamischen Systems durch Resonanzen charakterisiert sind, andere dagegen nicht. Resonanzen entsprechen, wie wir gesehen haben, rationalen Beziehungen zwischen Frequenzen. Es ist ein klassisches Resultat der Zahlentheorie, daß das »Maß« rationaler Zahlen 0 ist, verglichen mit den irrationalen. Dies bedeutet, daß Resonanzen »selten« sind: Die meisten Punkte im Phasenraum sind nichtresonant. Außerdem sahen wir in Abschnitt 3, daß Resonanzen in Abwesenheit von Störungen zu einer periodischen Bewegung (den sogenannten »resonanten Tori«) führen, während wir im allgemeinen eine bedingt periodische Bewegung (die nichtresonanten Tori) haben. Kurz, periodische Bewegungen sind die Ausnahme.

Wir können daher erwarten, daß, wenn Störungen eingeführt werden, die Bewegung auf resonanten Tori sich im Einklang mit Poincarés Theorem drastisch ändern wird, während die bedingt periodische Bewegung nur geringfügig modifiziert wird, zumindest wenn der Störungsparameter klein ist (die KAM-Theorie führt zusätzliche Bedingungen ein, mit denen wir uns hier jedoch nicht befassen). Das zentrale Resultat der KAM-Theorie besagt, daß wir jetzt zwei ganz verschiedene Arten von Trajektorien haben: geringfügig modifizierte bedingt periodische Trajektorien und zufällige Trajektorien, die auf der Zerstörung der resonanten Tori beruhen⁶⁵.

Das Auftreten von zufälligen Trajektorien, wichtigstes Ergebnis der KAM-Theorie, kann anhand von numerischen Berechnungen illustriert werden. Betrachten wir ein System mit zwei Freiheitsgraden. Der Phasenraum hat zwei Koordinaten und zwei Impulse . Für einen gegebenen Wert der Energie werden die Berechnungen ausgeführt, so daß nur drei unabhängige Variablen übrigbleiben. Um die Darstellung der dreidimensionalen Trajektorien zu vermeiden, betrachten wir nur die Schnittpunkte der Trajektorien mit der -Ebene. Um die Dinge weiter zu vereinfachen, stellen wir nur die Hälfte dieser Schnittpunkte fest, nämlich diejenigen, bei denen die Trajektorie »aufwärts« verläuft. Diese Darstellung wurde schon von Pomcare benutzt; man bezeichnet sie als »Poincaré-Schnitt« (oder »Poincaré-Abbildung«; Abb. 6.4). Sie zeigt deutlich den Unterschied zwischen periodischen und zufälligen Trajektorien.

Wenn die Bewegung periodisch ist, ist der Schnittpunkt einfach ein Punkt. Wenn sie bedingt periodisch ist, also auf einen Torus beschränkt ist, beschreiben die aufeinanderfolgenden Schnittpunkte eine geschlossene Kurve in der -Ebene. Wenn die Trajektorie »zufällig« ist, wenn sie also erratisch durch den Phasenraum wandert, werden die Schnittpunkte ebenfalls erratisch durch ein Gebiet der Ebene wandern.

Ein anderes wichtiges Ergebnis besteht darin, daß bei einer Erhöhung des Werts des Kopplungsparameters die Gebiete, in denen der Zufall herrscht, wachsen. Bei einem kritischen Wert von tritt Chaos auf: Wir haben dann einen positiven Ljapunow-Exponenten, so daß zwei beliebig eng benachbarte Trajektorien mit der Zeit exponentiell divergieren. Bei voll enlwickeltem Chaos erfüllt die gesamte Wolke der durch eine Trajektorie generierten Punkte außerdem Gleichungen vom Tvp einer Diffusionsgleichung⁶⁶.

Abb. 6.4 Poinceare-Abbildung: periodische Bewegung (A), quasiperiodische Bewegung (B), zufällige Bewegung (C).

Diffusionsgleichungen weisen, wie schon im 5.Kapitel in Abschnitt 1 im Zusammenhang mit der Brownschen Bewegung erwähnt, eine gebrochene zeitliche Symmetrie auf. Sie beschreiben die Annäherung an die Gleichförmigkeit in unserer Zukunft (das heißt, für ). Es ist daher sehr interessant, daß wir Computerberechnungen zufolge mit einem Programm, das auf der klassischen Dynamik basiert, Entwicklungen erhalten, die eine gebrochene zeitliche Symmetrie zeigen. Wie ist das möglich? Dies ist das Hauptproblem, das wir lösen müssen, um das Zeitparadox zu überwinden.

Es muß außerdem betont werden, daß die KAM-Theorie nicht zu einer dynamischen Theorie des Chaos führt. Sie zeigt - und darin liegt ihre Bedeutung -, daß wir bei kleinen Werten von so etwas wie ein gemischtes Regime haben, in dem sowohl regelmäßige als auch zufällige Trajektorien nebeneinander vorkommen. Uns interessiert aber vor allem, was geschieht, wenn wir zu dem Grenzfall übergehen, bei dem wir wiederum nur eine Art von Trajektorie haben. Dies ist die Situation, die »großen« Poincaré-Systemen (abgekürzt GPS - englisch: large Poincaré systems - LPS) entspricht, denen wir uns nun zuwenden.