Im Zusammenhang mit Poincarés Einteilung in integrable und nichtintegrable dynamische Systeme erwähnten wir, daß Resonanzen »selten« sind, da sie auf rationalen Beziehungen zwischen Frequenzen beruhen. Die Situation ändert sich jedoch grundlegend, wenn wir zu »großen« Systemen übergehen. Dann spielen Resonanzen eine beherrschende Rolle.
Betrachten wir als Beispiel die Wechselwirkung zwischen einem Teilchen und einem
Feld. Das Feld kann aufgefaßt werden als eine Überlagerung von Oszillatoren,
die einer stetigen Menge von Frequenzen 
entspricht. Das Teilchen
oszilliert dagegen mit einer fixierten Frequenz 
. Wir haben
hier ein Beispiel eines »nichtintegrablen« Poincaré-Systems vor uns. Immer
dann, wenn
ist, werden Resonanzen auftreten.
In allen Lehrbüchern der Physik kann man nachlesen, daß die Emission von Strahlung
genau auf den Resonanzen zwischen einem geladenen Teilchen und einem Feld beruht.
Die Strahlungsemission ist ein auf Poincaré-Resonanzen beruhender irreversibler
Prozeß.
Das Neue ist, daß die Frequenz eine stetige Funktion des Index
k ist, der Wellenlängen des Oszillators entspricht. Dies ist das Kennzeichen
»großer Poincaré-Systeme«. Große Poincaré-Systeme (GPS) entsprechen wichtigen
physikalischen Situationen, genau genommen der überwältigenden Mehrheit der
Situationen, die wir in der Natur antreffen. Sie bieten aber auch die Möglichkeit,
die Poincaré'schen Divergenzen, das Hindernis für die Integration der Bewegungsgleichungen,
zu eliminieren. Dieses Ergebnis, mit dem die dynamische Beschreibung enorm an
Leistungsfähigkeit gewinnt, macht die Gleichsetzung von »Newtonscher« und »Hamiltonscher«
Dynamik und damit den zeitumkehrbaren Determinismus zunichte, denn die Gleichungen
für GPS führen im allgemeinen zu irreduziblen, probabilistischen Entwicklungen
mit gebrochener zeitlicher Symmetrie.
Wenden wir uns nun der Quantenmechanik zu. Es besteht eine überraschende Analogie zwischen den Problemen, die wir in der klassischen und in der Quantentheorie antreffen, denn Poincarés Einteilung in »integrable« und nichtintegrable Systeme gilt auch hier.