Die Quantenrevolution

Von größter Bedeutung für die Formulierung der Quantenmechanik war die Beobachtung, daß die Wechselwirkung zwischen Atomen und Licht zu scharfen Absorptions- bzw. Emissionsfrequenzen führt. Bohr charakterisierte das Atom durch diskrete Energieniveaus. Die Frequenz der absorbierten bzw. emittierten Photonen entspricht in dieser Sicht der Differenz zwischen den Energieniveaus. Es bedurfte eines großen Schritts, um dieses Bild mit klassischen Vorstellungen zu versöhnen. Die klassische Hamilton-Funktion nimmt in Abhängigkeit von den Werten der Koordinaten und Impulse eine kontinuierliche Reihe von Werten an. In der Quantentheorie wird die als eine stetige Funktion aufgefaßte Hamilton-Funktion H durch ein neues Objekt ersetzt, den Hamilton-Operator .

Ein Operator ist nichts anderes als eine mathematische Vorschrift, die man anwendet, um eine Funktion in eine andere zu transformieren. Das kann eine Multiplikation mit einer gegebenen Größe oder eine Differentiation, , oder eine Ableitung zweiten Grades, , oder eine sonstige mathematische Operation sein. Es muß zusätzlich angegeben werden, auf welche Art von Funktionen ein Operator wirkt, zum Beispiel stetige Funktionen, ableitbare Funktionen und so weiter. Diese Funktionenmenge charakterisiert den »Raum«, in dem der Operator definiert ist.

Von besonderem Interesse für die Physik ist die Beziehung zwischen einem Operator und der Menge seiner Eigenfunktionen. Die Wirkung eines Operators auf eine Eigenfunktion reproduziert per definitionem die gleiche Funktion, multipliziert mit einer gegebenen Größe. Diese Größe bezeichnet man als den Eigenwert des Operators. In der Quantenmechanik werden die mit einer physikalischen Größe verbundenen beobachtbaren numerischen Werte als die Eigenwerte des betreffenden Operators bezeichnet.

Betrachten wir beispielsweise den Operator Wenn er auf eine Funktion wirkt, verwandelt er sie in 6x. Die Funktion ist keine Eigenfunktion dieses Operators. Wenn unser Operator jedoch auf die Funktion wirkt, verwandelt er sie in ; ist ein Eigenwert des mit der Eigenfunktion verbundenen Operators.

Wenn man ein Eigenwertproblem löst, sucht man nach den Eigenfunktionen des Operators. So ist die Lösung des »Eigenwertproblems«, das definiert ist durch die Gleichung , mit den entsprechenden Eigenwerten .

Die mit einem Atom verbundenen diskreten Energieniveaus sind die Eigenwerte des Hamilton-Operators. Diese Eigenwerte bilden ein »diskretes Spektrum«, dessen aufeinanderfolgende Eigenwerte durch endliche Abstände voneinander getrennt sind (der Ausdruck »Spektrum« bezieht sich auf die ursprünglichen spektroskopischen Experimente). Das Spektrum kann auch »stetig« sein. Da die Unterscheidung zwischen einem diskreten und einem stetigen Spektrum für unsere Theorie fundamental ist, wollen wir ein Beispiel erläutern.

Wir betrachten nochmals die Gleichung und fügen die Bedingung hinzu, daß die Eigenfunktionen an den Grenzen des Bereichs zwischen und gleich 0 sind. Das heißt: muß für und für gleich 0 sein. Daraus folgt, daß ist, wobei n eine ganze Zahl ist. Die erlaubten Eigenwerte bilden jetzt das diskrete Spektrum . Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Eigenwerten ist umgekehrt proportional zu . Wenn L gegen geht, so geht dieser Abstand folglich gegen 0, und wir erhalten ein stetiges Spektrum. Ein physikalisches Analogon dieses mathematischen Beispiels ist das zweigeteilte Spektrum eines Atoms: Der diskrete Teil beschreibt die Energieniveaus des Atoms als in einen »endlichen Kasten« (der durch einen Potentialwall gebildet wird) eingeschlossen, und der stetige Teil entspricht Zuständen, in denen das Atom ionisiert ist, wo also ein Elektron dem Potentialwall entkommt Dies ist illustriert in Abb. 7.1.

Physikern von heute mag es so erscheinen, als sei der Übergang von Funktionen zu Operatoren in der Quantentheorie ein selbstverständlicher Schritt gewesen. In Wahrheit war die Einführung von Operatoren ein kühner Schritt, für den Männer wie Werner Heisenberg, Max Born, Pascual Jordan, Erwin Schrödinger und Paul Dirac unsere Bewunderung verdienen. Dadurch ändert sich unsere Naturbeschreibung entscheidend, denn wir machen einen begrifflichen Unterschied zwischen einer physikalischen Größe (dargestellt durch einen Operator) und ihren numerischen Werten (den Eigenwerten des Operators). Dies ist ein so radikaler Wechsel der Betrachtungsweise, daß man durchaus von der »Quantenrevolution« sprechen darf.

Abb. 7.1 Zweiteiliges Spektrum eines Atoms. Der Abstand zwischen den aufeinanderfolgenden Energieniveaus des diskreten Spektrums geht gegen 0, wenn L wächst.

Um ein Beispiel für die mit den Operatoren eingeführten Neuerungen zu geben, betrachten wir die Vertauschungsbeziehungen zwischen Operatoren. Zwei Operatoren vertauschen (kommutieren), wenn es gleichgültig ist, in welcher Reihenfolge wir sie auf eine Funktion anwenden. Sie vertauschen dagegen nicht, wenn die Reihenfolge der Anwendung einen Einfluß auf das Ergebnis hat. So ist es für das Resultat bedeutsam, ob wir eine Funktion zuerst mit x multiplizieren und sie dann nach x differenzieren, oder ob wir sie zuerst differenzieren und dann mit x multiplizieren. Nichtvertauschende Operatoren haben unterschiedliche Eigenfunktionen (daß sie, wenn sie vertauschen, die gleichen Eigenfunktionen haben, läßt sich leicht nachprüfen).

Die berühmten Heisenbergschen Unschärferelationen folgen aus der Tatsache, daß die in der Quantentheorie definierten »Orts«- und »Impuls«-Operatoren nicht vertauschen. Der Ortsoperator dessen Eigenwerte die Koordinaten eines Quantenobjekts sind, entspricht in der »Koordinatendarstellung« einfach , während der Impulsoperator durch definiert ist. Diese Operatoren haben keine gemeinsamen Eigenfunktionen. Die Tatsache, daß und nicht vertauschen, bedeutet, daß wir nicht imstande sind, einen Zustand eines Quantenobjekts (durch irgendwelche Eigenfunktionen) zu definieren, derart, daß Ort und Impuls zugleich wohldefinierte Werte annehmen. Dies ist der Ursprung der berühmten Heisenbergschen Unschärferelationen. Sie zwingen uns, den »naiven Realismus« der klassischen Physik aufzugeben. Wir können den Impuls oder den Ort eines Teilchens messen, aber wir können nicht sagen, daß ein Teilchen wohldefinierte Werte sowohl seines Impulses als auch seiner Ortskoordinaten habe. Es waren neben anderen Heisenberg und Born, die vor über 60 Jahren zu dieser Schlußfolgerung gelangten. Doch die Diskussion über die Bedeutung der Unschärferelationen geht weiter, und einige Wissenschaftler haben noch immer nicht die Hoffnung aufgegeben, den traditionellen deterministischen Realismus⁷⁵ der klassischen Mechanik wiederherzustellen. Unsere Theorie unterstreicht dagegen, wie wir im 9. und 10.Kapitel sehen werden, die statistischen Aspekte der klassischen wie der Quantentheorie.