Heisenbergs Programm

Der zentrale Operator in der Quantentheorie ist der Hamilton-Operator , dessen Eigenwerte den Energieniveaus entsprechen. Mit anderen Worten: Das zentrale Problem der Quantenmechanik ist ein Eigenwertproblem; um die Energieniveans zu erhalten, müssen wir die Eigenfunktionen und die entsprechenden Eigenwerte in der Gleichung bestimmen.

Die Bedeutung des Hamilton-Operators rührt daher, daß er, wie die klassische Hamilton-Funktion, die zeitliche Entwicklung des Quantenobjekts bestimmt. Schreiben wir nun die Schrödinger-Gleichung hin; sie lautet: : Sie setzt die zeitliche Ableitung der Wellenfunktion mit der Wirkung des Hamilton-Operators auf gleich. Diese Gleichung ist nicht in der Quantenmechanik abgeleitet, sondern wird von vornherein vorausgesetzt. Sie kann nur durch das Experiment erhärtet werden.

Das Quantenobjekt wird hier durch bezeichnet, die sogenannte Wellenfunktion. Die Analogie, von der Schrödinger sich bei der Formulierung seiner Gleichung leiten ließ, war die zur klassischen Optik, so daß die Eigenwerte den charakteristischen Frequenzen entsprechen, die mit Wellenphänomenen einhergehen. Im Gegensatz zu den klassischen Hamilton-Gleichungen ist die Schrödinger-Gleichung eine Wellengleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung, da zusätzlich zur zeitlichen Ableitung in Aleitungen nach den Koordinaten auftreten (man erinnere sich, daß der Impulsoperator in der Koordinatendarstellung eine Ableitung nach den Koordinaten ist). Doch die klassischen (Hamiltonschen) und die Quantengleichungen haben eines gemeinsam: Sie sind Gleichungen erster Ordnung in der Zeit. Wenn zu einem beliebigen Zeitpunkt t zusammen mit geeigneten Randbedingungen (wie etwa bei unendlicher Entfernung) bekannt ist, können wir für beliebige Zeiten in der Vergangenheit wie in der Zukunft berechnen. Insofern stellen wir die deterministische Anschauung der klassischen Mechanik wieder her, doch bezieht sie sich nun auf Wellenfunktionen, nicht auf Trajektorien.

Außerdem ist die Schrödinger-Gleichung, genau wie die klassischen Bewegungsgleichungen, zeitlich reversibel. Die Gleichung bleibt gültig, wenn wir t durch -t ersetzen. Wir müssen lediglich durch sein komplexkonjugiertes ersetzen. Wenn wir beobachten, daß zur Zeit ( größer als ) von in übergeht, können wir folglich auch einen Übergang von in beobachten. Es ist interessant, Eddington zu zitieren, der in einem frühen Stadium der Quantenmechanik bemerkte, daß Quantenwahrscheinlichkeiten »erhalten werden, indem man zwei symmetrische Systeme von Wellen einführt, die sich in entgegengesetzten Zeitrichtungen fortpflanzen«⁷⁶. Die Schrödinger-Gleichung ist, wie wir gesehen haben, tatsächlich eine Wellengleichung, welche die zeitliche Entwicklung von Wahrscheinlichkeitsamplituden beschreibt. Nehmen wir das komplexkonjugierte der Schrödinger-Gleichung. Das heißt, wir ersetzen i durch -i und durch (wir nehmen an, daß reell ist). Wenn wir außerdem t durch -t ersetzen, erhalten wir wieder die Schrödinger-Gleichung. Wie Eddington sagte, kann daher als eine Wellenfunktion aufgefaßt werden, die sich in die Vergangenheit hinein fortpflanzt. Die eigentliche Wahrscheinlichkeit erhält man dann durch das Produkt von mit seinem komplexkonjugierten (also ), und da aufgefaßt werden kann als , das sich in der Zeit rückwärts entwickelt, impliziert die Definition der Wahrscheinlichkeit die »Begegnung« zweier Zeiten, einer aus der Vergangenheit und der anderen aus der Zukunft. Wahrscheinlichkeiten sind in der Quantentheorie folglich zeitsymmetrisch. Die Wahrscheinlichkeiten die wir mit unserer Methode ableiten werden, werden dagegen durch eine gebrochene zeitliche Symmetrie gekennzeichnet sein.

Befassen wir uns nun mit der Beziehung zwischen der Schrödinger-Gleichung und der Lösung des Eigenwertproblems, dem Heisenbergschen Programm⁷⁷.

Die formale Lösung der Schrödinger-Gleichung ist , mit ; ist der Entwicklungsoperator in der Quantentheorie. Im 5.Kapitel haben wir bereits Entwicklungsoperatoren für Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Zusammenhang mit Karten eingeführt. Da Entwicklungsoperatoren in unserer Methode eine wesentiche Rolle spielen (siehe 9. und 10.Kapitel), müssen wir auf die Methoden, mit denen diese Klasse von Operatoren in der Quantenmechanik untersucht wird, etwas ausführlicher eingehen. Wir kommen hier zu einem entscheidenden Punkt unseres Buches, dem Begriff des Hilbert-Raums, den wir verallgemeinern müssen, um das Chaos in der klassischen wie in der Quantenmechanik einzubeziehen. Im Geiste dieses Buches werden wir einfach die wichtigsten Eigenschaften, die wir benötigen, aufzählen und einige Definitionen geben. Weitere Einzelheiten findet der interessierte Leser in Lehrbüchern zur Quantenmechanik und zur Funktionsanalysis.