Der Hilbert-Raum

Die klassische Physik setzt einen euklidischen Raum voraus. Dies bedeutet, daß die Entfernung zwischen zwei Punkten 1 und 2 gegeben ist durch . Außerdem können wir Vektoren einführen und ein Skalarprodukt aus zwei Vektoren u und v definieren. Angenommen, die Komponenten von und sind und . Das Skalarprodukt ist . Eine andere Eigenschaft des Vektors ist seine »Länge« oder »Norm« , gegeben durch . Zwei Vektoren u und v sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet. Außerdem ist ein Vektor »normalisiert«, wenn seine Norm 1 ist.

Der Hilbert-Raum ist eine Verallgemeinerung des euklidischen Vektorraums: Vektoren werden jetzt ersetzt durch Funktionen.

Betrachten wir Funktionen ... und nehmen wir an, sie hingen nur von einer Variablen x ab. Die Funktionen können komplex sein, das heißt, sie können zerlegt werden in einen Realteil und einen Imaginärteil. So ist . Wir können das »komplexkonjugierte« von definieren: . Wir sind bereits dem komplexkonjugierten der Wellenfunktion begegnet. komplexkonjugierte Funktionen spielen eine wesentliche Rolle im Hilbert-Raum, da sie in die Definition des Ska1arprodukts zweier Funktionen, sagen wir und , eingehen, das ist. Statt der Summe über die Koordinaten machen wir hier eine Integration über die Variable (intuitiv entspricht das einem Vektorraum mit einer unendlichen Anzahl von Komponenten). Desgleichen können wir die »Länge« einer Funktion, die sogenannte Norm, definieren durch . Wir nehmen an, daß nur dann, wenn . Wir bemerken, daß im Hilbert-Raum jede Funktion zweifach auftreten kann: links und rechts innerhalb des Skalarprodukts. Deshalb führte Dirac (1938) eine elegante Schreibweise ein. Jedes Element f des Hilbert-Raums kann entweder als ein »bra«-Vektor oder als ein »ket«-Vektor geschrieben werden. Das Skalarprodukt ist , das Produkt eines bra mit einem ket. Das Quadrat der Norm von Funktion ist dann

Der Hilbert-Raum besteht aus quadratisch-integrierbaren Funktionen, das heißt aus Funktionen, deren »Länge« endlich ist. Dies impliziert Randbedingungen. Die Funktion ist beispielsweise quadratisch-integrierbar, wenn die Integration sich von 0 bis 1 erstreckt (denn , sie ist es jedoch nicht, wenn die Integration sich von 0 bis erstreckt (denn ).

In der orthodoxen Quantenmechanik wird der Hilbert-Raum als der grundlegende mathematische Rahmen anerkannt (es sind geringfügige Modifikationen nötig, um einem stetigen Spektrum Rechnung zu tragen, aber darauf brauchen wir hier nicht einzugehen). Um jedoch mit chaotischen Systemen fertig zu werden, wird es nötig sein, einen allgemeineren Raum einzuführen, das heißt, Funktionen zu verwenden, deren »Länge« nicht definiert ist. Diese Funktionen sind somit sehr singulär, ebenso wie die Fraktale, die wir im 4.Kapitel eingeführt haben. Sie »leben« nicht im HilbertRaum, welcher der geeignete Raum für saubere, stetige Funktionen ist. Doch bevor wir zu den neuen verallgemeinerten Räumen übergehen, müssen wir uns mit einigen der wichtigsten Eigenschaften des Hilbert-Raums vertraut machen.

Eine wichtige Rolle spielen Operatoren. Ein im Hilbert-Raum definierter Operator wirkt auf ein Element dieses Raums und transformiert in ein anderes Element des Hilbert-Raums (eine andere quadratisch-integrierbare Funktion). Definieren wir nun einige Klassen von Operatoren, die im Hilbert-Raum eine wichtige Rolle spielen.

Erstens entspricht jedem Operator ein adjungierter Operator, , definiert durch die Gleichung der beiden Skalarprodukte, des einen, wo auf und des anderen, wo auf wirkt. Ein Operator ist selbstadjungiert (oder hermitesch), wenn Das beruht darauf, daß die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren im Hilbert-Raum reell sind.

Eine andere wichtige Klasse von Operatoren sind die isometrischen oder maßerhaltenden Operatoren , die die Norm erhalten: Wenn der Operator außerdem ein Inverses zuläßt , wird er als unitär bezeichnet. Der in Abschnitt 3 eingeführte Entwicklungsoperator der Quantenmechanik ist unitär. Die zeitliche Entwicklung verändert nicht die Norm (sie entspricht einer »Rotation« im Hilbert-Raum).

Im Entwicklungsoperator spielen Zukunft und Vergangenheit die gleiche Rolle, da , unabhängig von den Vorzeichen von und . Man sagt, daß der Entwicklungsoperator einer dynamischen Gruppe entspricht.

Bei unserer Lösung des Zeitparadoxons im 10.Kapitel werden wir noch mit unitären Entwicklungsoperatoren zu tun bekommen. Sobald wir jedoch den Hilbert-Raum verlassen, spielen Zukunft und Vergangenheit im allgemeinen unterschiedliche Rollen. Die dynamischen Gruppen spalten sich dann auf in zwei »Halbgruppen «.

Wie man aus der elementaren Mathematik weiß, kann ein beliebiger Vektor, sagen wir r, in seine Komponenten bezüglich der Menge der Basisvektoren von Einheitslänge längs der Koordinatenachse x, y, z zerlegt werden (siehe Abb. 7.2). Diese Basisvektoren sind orthonormal (ihre Skalarprodukte sind 0, und ihre Länge ist 1).

Wir können eine Funktion des Hilbert-Raums ebenfalls darstellen als eine Überlagerung geeigneter Funktionen Auch hier ist es besonders bequem, eine Menge von orthonormalen Funktionen zu benutzen. Das heißt, daß (=1 für i=j, =0 für ). Diese Eigenschaften führen zur Ermittlung von in der Entwicklung von mit dem Skalarprodukt Wir können daher schreiben:

Da dies für jedes gültig sein muß, impliziert es Dies bezeichnet man als Vollständigkeitsrelation.

Die Wirkung eines Operators im Hilbert-Raum kann mit Hilfe einer orthonormalen Menge ausgedrückt werden. Lassen Sie uns definieren Dies nennt man die Matrixdarstellung des Operators (eine Matrix hängt zusammen mit einem Objekt mit zwei Indizes). In dieser Schreibweise haben wir wie sich leicht nachprüfen läßt, indem man die Relation mit und multipliziert und die Orthonormalitätsbedingungen berücksichtigt.

Kommen wir nun zum Eigenwertproblem. Das grundlegende Eigenwertproblem in der Quantenmechanik hängt zusammen mit dem Hamilton-Operator : ist ein hermitescher Operator; und seine Eigenwerte sind reell (das heißt, er ist gleich seiner Adjungierten, ). Man nimmt an, daß die Eigenfunktionen eine vollständige orthogonale Menge bilden. Wir haben daher . Der Hamilton-Operator wird diagonal, wenn wir ihn nach seinen Eigenfunktionen entwickeln. Deshalb bezeichnet man die Lösung des Eigenwertproblems auch als »Diagonalisierung« des Hamilton-Operators. Ausgedrückt durch seine Eigenfunktionen, wird dargestellt durch eine Matrix, bei der nur die Diagonalterme von 0 verschieden sind: . Diese Relation bezeichnet man als die spektrale Darstellung von . Die spektrale Darstellung von H abzuleiten heißt, die Lösung des Eigenwertproblems zu erreichen. Die Konstruktion dieser Darstellung ist daher das zentrale Problem der Quantenmechanik.

Abb. 7.2 Darstellung eines Vektors durch eine Menge von orthonormalen Vektoren.

Betrachten wir nun den in Abschnitt 3 eingeführten Entwicklungsoperator . Es läßt sich nachprüfen, daß infolge der Tatsache, daß H hermitesch ist, ein unitärer Operator ist (er erhält die Norm). Da er eine Funktion von H ist, ist das Eigenwertproblem für gelöst, sobald wir das von H gelöst haben, genauer gesagt, . Die Eigenwerte von sind modulo 1, das heißt, daß , multipliziert mit seiner komplexkonjugierten , gleich 1 ist. Daher hat die spektrale Darstellung .

Unter Verwendung der vollständigen Menge können wir nun beliebige Wellenfunktionen zur Zeit (im Hilbert-Raum) nach den entwickeln. Wie oben ist . Die Wellenfunktion ist ein »Vektor« im Hilbert-Raum. Die Achsen sind die Eigenfunktionen . Die Anwendung des Entwicklungsoperators auf führt daher zu .

Die Wellenfunktion entspricht nicht einer wohldefinierten Energie. Dies wäre nur der Fall, wenn alle Koeffizienten mit Ausnahme von einem, sagen wir: , gleich 0 wären; entspricht einer Überlagerung von möglichen Energien die jeweils die Wahrscheinlichkeitsamplitude haben. Das heißt in der physikalischen Interpretation der Quantentheorie, daß die Wahrscheinlichkeit, einen der Energiezustände anzutreffen, gegeben ist durch .

Die wichtige Konsequenz ist, daß die Wahrscheinlichkeiten sich nicht in der Zeit ändern. Sobald das Eigenwertproblem gelöst ist, erscheint die Schrödinger-Entwicklung als eine im Grunde statische Entwicklung, in der in Wirklichkeit nichts »geschieht«, da jede Eigenfunktion sich unabhängig von den anderen entwickelt. Jede Eigenfunktion des Hamilton-Operators entspricht einem unabhängigen Mode, der durch ein wohidefiniertes Energieniveau definiert ist.

Die Entwicklung der Wellenfunktion, ausgedrückt durch die Eigenfunktionen von H, entspricht einfach einer Rotation im Hilbert-Raum (genau wie ein integrables System wie der harmonische Oszillator einfach im klassischen Phasenraum »rotiert«, siehe Abb. 7.3). Wenn wir das Quantensystem durch die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators darstellen, so ist das ein Analogon zu der Darstellung im Sinne der »freien Bewegung« der klassischen integrablen Systeme durch zyklische Variablen.

Abb. 7.3 Darstellung eines Quantenzustands durch die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators.

Im Gegensatz zum klassischen Phasenraum kann der Hilbert-Raum nicht Eigenfunktionen enthalten, die sowohl Koordinaten als auch Impulsen entsprechen, da diese Größen durch Operatoren dargestellt werden, die nicht vertauschen und keine gemeinsamen Eigenfunktionen haben. Die Quantentheorie enthält die Hälfte der in der klassischen Theorie verwendeten Variablen. Die Schrödinger-Gleichung kann beispielsweise allein mit Hilfe von Koordinaten geschrieben werden, da der Impulsoperator geschrieben werden kann als . Dieser bedeutende Unterschied läßt sich zurückführen auf die Rolle der Planck-Konstante h. Die Planck-Konstante tritt auf in der Beziehung, die die Welleneigenschaften eines Quantenobjekts - seine Wellenlänge und seine Frequenz - mit seinen Teilcheneigenschaften - seiner Energie und seinem Impuls verknüpft. Diese Beziehungen sind und . Von besonderer Bedeutung für die Struktur der Quantentheorie ist die letztere Beziehung, die eine Länge mit einem Impuls verknüpft, also zwei Variablen, welche die klassische Dynamik als unabhängig betrachten würde. Dies ist die Grundlage der Welleneigenschaften von Quantenobjekten. Die Existenz von Welleneigenschaften führt zu einem kohärenteren, stärker geordneten Verhalten als in der klassischen Mechanik. Aus diesem Grunde verlangt das Quantenchaos, wie wir sehen werden, strengere Bedingungen als das klassische Chaos.

Dieser Überblick über den Hilbert-Raum läßt klar erkennen, warum wir zu einem allgemeineren Raum übergehen müssen, wenn wir irreversible Prozesse in die Quantentheorie einbeziehen wollen. Qualitativ können wir sagen, daß Irreversibilität - im Gegensatz zu den zeitlich periodischen Eigenwerten von - komplexe Eigenwerte bedeutet, die gedämpften Entwicklungen entsprechen, welche zum Gleichgewicht führen.

Um die Annäherung an das Gleichgewicht zu beschreiben, wäre es einfach, Dämpfungsterme direkt in die Definition des Hamilton-Operators einzuführen. Dies führt jedoch nicht zu einem konsistenten Ansatz. Wo kommen diese Dämpfungsterme her? Worin besteht das Kennzeichen »gedämpfter« Systeme aus der fundamentalen dynamischen Sicht? Wir verfolgen ein ehrgeizigeres Ziel. Wir werden zeigen, daß man ohne Ad-hoc-Änderungen des Hamilton-Operators die Brechung der zeitlichen Symmetrie für chaotische Systeme ableiten kann. Doch solange wir innerhalb des Hilbert-Raums bleiben, ist das natürlich unmöglich. Es kommt uns daher sehr entgegen, daß die Instabilität natürlicherweise zur Einführung von generalisierten (oder sogenannten »rigged«) Räumen führt.

Schon hier ein wichtiger Hinweis. In der orthodoxen Quantentheorie werden dynamische Prozesse und der Hilbert-Raum unabhängig voneinander eingeführt. Gleichgültig, um was für einen durch einen Hamilton-Operator H charakterisierten dynamischen Prozeß es geht, man benutzt den gleichen Hilbert-Raum. Für chaotische Systeme wird das nicht gelten. Hier werden die dynamischen Prozesse und der Raum, in dem die Operatoren wirken, miteinander verknüpft. Wir erwähnten schon, daß der Hilbert-Raum die Erweiterung des euklidischen Raums für Funktionen ist. Es besteht daher eine gewisse Analogie zwischen den Schritten, durch die wir die Dynamik mit dem Funktionsraum verknüpfen werden, und dem entscheidenden Schritt, der zur allgemeinen Relativitätstheorie führt - der Einführung einer nichteuklidischen Geometrie, die die Raum-Zeit-Struktur mit der Anwesenheit von Materie verknüpft.