Quanten-Poincaré-Systeme

Kommen wir zurück auf das zentrale Problem der Quantenmechanik, die Lösung des Eigenwertproblems für den Hamilton-Operator. Es gibt, wie wir bereits sagten, nur wenige Quantensysteme, für die das Eigenwertproblem exakt gelöst worden ist. Im allgemeinen müssen wir einen störungstheoretischen Ansatz benutzen. Wir gehen von einem Hamilton-Operator der Form aus, wo einem Hamilton-Operator entspricht, für den wir das Eigenwertproblem gelöst haben, und eine »Störung« ist, die durch die Kopplungskonstante mit gekoppelt ist. Wir nehmen also an, daß wir die Lösung des Eigenwertproblems , kennen, und wir möchten das Eigenwertproblem lösen. Das übliche Verfahren (Schrödingers Störungstheorie) besteht darin, sowohl die Eigenwerte als auch die Eigenfunktionen nach den Potenzen der Kopplungskonstante zu entwickeln: und . und sind dann definitionsgemäß analytische Funktionen von (siehe unsere Diskussion des Poincaré-Theorems im 6.Kapitel, Abschnitt 3).

Der störungstheoretische Ansatz führt zu einem rekursiven Verfahren mit Gleichungen immer höherer Ordnung von . Die Lösung dieser Gleichungen ergibt Terme der Form , die unbestimmt werden, wenn der Nenner verschwindet. Damit erhalten wir wieder das Divergenzproblem, um das es in Poincarés Theorem über »nichtintegrable Systeme« geht.

Es gibt jedoch einen wesentlichen Unterschied. In der Quantenmechanik wird die Unterscheidung, die wir bereits eingeführt haben, zwischen dem diskreten und dem stetigen Spektrum ausschlaggebend. Bei diskretem Spektrum ist es nämlich im allgemeinen möglich, das Divergenzproblem durch geeignete Wahl des ungestörten Hamilton-Operators zu vermeiden. Wir beheben, konkret gesprochen, die Entartung durch eine geeignete Transformation. Da endliche Quantensysteme ein diskretes Spektrum haben, können wir folgern, daß sie integrabel sind.

Die Situation ändert sich drastisch, wenn wir uns großen Quantensystemen zuwenden, darunter streuende Systeme und wechselwirkende Felder. Das Spektrum solcher Systeme ist stetig. Es gilt daher Poincarés Einteilung.

In bestimmten Fällen hat die Quantenphysik diese Schwierigkeit überwinden können. Wir müssen dann die Entwicklung von und in Potenzen der Kopplungskonstante aufgeben. Die Eigenwerte und Eigenfunktionen von H sind keine analytischen Funktionen von mehr. Dieser Ansatz ist jedoch nur in außergewöhnlich einfachen Fällen erfolgreich gewesen. Ein Beispiel werden wir in diesem Abschnitt behandeln. Im allgemeinen haben Poincarés Divergenzen weitere Fortschritte verhindert. In der Literatur findet man Existenztheoreme, die die Existenz einer Lösung des Eigenwertproblems⁷⁸ beweisen, doch kennen wir keine konstruktive Methode, diese Lösung zu finden. Wir werden etwas ausführlicher auf das Friedrichs-Modell eingehen, da es die Grenzen der gegenwärtigen Quantentheorie deutlich aufzeigt.

Beim Friedrichs-Modell geht es um die Wechselwirkung zwischen einem Teilchen und einem Feld. Im 6.Kapitel erwähnten wir dieses Problem im Rahmen der klassischen Dynamik. Hier geht es um seine quantenmechanische Version. Das Friedrichs-Modell bringt eine radikale Vereinfachung der physikalischen Situation. Das Teilchen ist jetzt ein Modellatom mit nur zwei Zuständen: dem Grundzustand 0 und dem angeregten Zustand 1. Außerdem berücksichtigen wir nur zwei Arten von Prozessen: den Quantenübergang vom Zustand 1 zum Zustand 0 unter Emission eines Photons und den umgekehrten, mit der Absorption eines Photons verbundenen Prozeß (Abb. 7.4).

Abb. 7.4 Emission (a) und Absorption (b) eines Photons, begleitet von einem Ubergang von Niveau 1 nach 0 (Zerfall) und von Niveau 0 nach 1 (Anregung).

Beide Prozesse entsprechen »Resonanzen« - die dem Übergang zwischen dem Anregungszustand und dem Grundzustand entsprechende Energie wird auf ein Photon übertragen.

Natürlich gibt es kein Atom mit zwei Zuständen. Außerdem führt die Quantenmechanik andere Prozesse ein, sogenannte »virtuelle Prozesse«, bei denen die Energie nicht einmal näherungsweise erhalten bleibt. Ein solcher Prozeß wäre beispielsweise der Übergang vom Anregungszustand zum Grundzustand unter Absorption eines Photons⁷⁹. Diese virtuellen Prozesse werden vom Friedrichs-Modell nicht berücksichtigt (Abb. 7.5).

Der dem Friedrichs-Modell entsprechende ungestörte Hamilton-Operator enthält zwei Terme: Einer entspricht dem Atom, der andere dem Feld. In der »bra-ket«Schreibweise (siehe Abschnitt 4) können wir schreiben: . Hier ist die Energiedifferenz zwischen den beiden Zuständen: sind die den Feldmoden zugehörigen Frequenzen. Ferner sind und die Eigenfunktionen des ungestörten Hamilton-Operators. Im Grenzfall eines großen Systems wird das Spektrum des Feldes stetig. Zu diesem ungestörten Hamilton-Operator fügen wir jetzt die Wechselwirkung zwischen dem Atom und dem Feld hinzu. Wiederum unter Verwendung der »braket«-Schreibweise können wir die potentielle Energie schreiben als : Die potentielle Energie führt zu Übergängen zwischen den Zuständen und den Feldmoden .

Abb. 7.5 Virtuelle Prozesse (dargestellt durch die Wellenlinien).

Das Friedrichs-Modell kann benutzt werden, um die Bildung einer Spektrallinie zu beschreiben. Gehen wir beispielsweise von dem ungestörten Zustand aus. Zur Zeit t ist die Wellenfunktion durch und die Wahrscheinlichkeitsamplitude, den Mode k zu finden, durch gegeben. Nach den oben angeführten Regeln ist die Wahrscheinlichkeit selbst gegeben durch . Diese Funktion kann für verschiedene Zeitwerte als eine Funktion von k berechnet werden.

Für hinreichend lange Zeiten finden wir eine Absorptionslinie bei k, derart, daß (in der Literatur wird dies als »Lorentz-Form« bezeichnet). Wir sehen, daß die Bildung einer Spektrallinie tatsächlich auf einem Resonanzvorgang beruht (siehe Abb. 7.6).

Können wir darüber hinausgehen und die spektrale Darstellung des vollständigen Hamilton-Operators geben?

Zu diesem Zweck versuchen win ein Störungsschema anzuwenden. Wir stoßen dann jedoch auf die Poincaréschen Divergenzen. Das Feld enthält nämlich eine stetige Menge von Frequenzen Dies führt zu resonanten Nennern und damit zu Divergenzen. Wir weisen auf die fundamentale Rolle dieser Resonanzen hin, sind sie doch für die Emission beziehungsweise Absorption von Licht (Photnen) verantwortlich.

Abb. 7.6 Computerberechnung der Bildung einer Spektrallinie aufgrund des Friedrichs-Modells. Die Übergangswahrscheinlichkeit ist dargestellt als Funktion von k für zunehmende Zeit (Simulation durch Dr. W. Saphir).

Im speziellen Fall des Friedrichs-Modells kann die Divergenz behoben werden. Der angeregte Zustand des Teilchens kann nämlich, wie Friedrichs gezeigt hat, durch eine geeignete Transformation eliminiert werden⁸⁰. So gelangen wir zu einer spektralen Darstellung für H, die Lediglich eine Menge von stetigen Moden enthält, , in der wie zuvor die zu dem Kontinuum gehörigen Frequenzen sind und die Eigenfunktionen, die durch die ungestörten Eigenfunktionen des Teilchens und des Feldes ausgedrückt werden können. Dies ist die spektrale Darstellung des Friedrichs-Modells. Man beachte, daß Friedrichs' Lösung durch einen störungstheoretischen Ansatz nicht zu erreichen und folglich nicht analytisch in ist. Wenn nämlich geht, reduziert der Hamilton-Operator von Friedrichs den Beitrag der Feldmoden, während, wie wir gesehen haben, der ungestörte Hamilton-Operator zusätzlich einen Beitrag von dem Teilchen enthält. Die von Friedrichs erzielte spektrale Darstellung ist somit instabil, da beliebig kleine Werte von das Spektrum qualitativ verändern. Dies ist ein Beispiel einer »spektralen Katastrophe«.

Wie ist die Eliminierung des instabilen diskreten Zustands in Friedrichs' Lösung zu verstehen? Gewiß zerfällt das instabile Teilchen in Feldmoden, seine Energie wird also durch die Emission von Photonen auf das Feld übertragen. Wie können wir aber, wenn wir das Teilchen von vornherein als Bestandteil des Feldes betrachten, von Quantenübergängen sprechen, wie wir es beim Bohrschen Modell tun? Die Energie des Teilchens wird bereits zum Ausgangszeitpunkt auf das Feld übertragen. Das instabile »Teilchen« ist jetzt so etwas wie ein aus Überlagerungen stetiger Moden bestehendes Wellenpaket, das sich mehr und mehr auflöst.

Diese Folgerung überrascht nicht. Ereignisse sind, anders als im Bohrschen Modell, in der Standardversion der Quantenmechanik nicht vorgesehen. Das liegt daran, daß die Schrödinger-Gleichung eine stetige zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion beschreibt. Heute können wir jedoch individuelle Quantensprünge beobachten. Wie sollen wir sie in unsere quantenphysikalische Beschreibung einbeziehen? Die übliche Antwort lautet, das geschehe durch unsere Messungen!

Es ist daher sehr interessant, daß unser Ansatz zu einer anderen spektralen Darstellung des Hamilton-Operators führt, die das Feld und das Teilchen einbezieht. Dieser Beschreibung müssen wir uns bedienen, wenn wir das grundlegende Konzept der »Quantensprünge« aufrechterhalten wollen. Diese alternative spektrale Darstellung liegt jedoch nicht mehr im Hilbert-Raum.

Wir kommen zu dem Schluß, daß wir selbst in den Ausnahmefällen, in denen sich Heisenbergs Programm (die Lösung des Eigenwertproblems) mit herkömmlichen Methoden durchführen läßt, auf theoretische Schwierigkeiten stoßen. Diese Schwierigkeiten hängen alle mit dem Zeitparadox zusammen.