Ensembles in der klassischen Physik

Wie im 5. und 6.Kapitel führen wir den Phasenraum ein, dessen Koordinaten die Orte und Impulse des Teilchens sind. Wie zuvor wird jeder Zustand eines Systems durch einen Punkt dargestellt. In der Gibbsschen Ensembletheorie kann ein System jedoch durch eine »Wolke« von Punkten im Phasenraum dargestellt werden. Die »Wolke« wird beschrieben durch eine stetige Verteilung im Phasenraum . In geeigneter Weise normiert (das Integral der Dichte über den ganzen Phasenraum wird gleich 1 gesetzt), repräsentiert die Dichte die Wahrscheinlichkeitsverteilung, zur Zeit t einen repräsentativen Punkt des Systems in dem Volumenelement des Phasenraums anzutreffen.

Jeder Punkt im Phasenraum folgt im Zeirverlauf einer dynamischen Trajektorie. Jeder Anfangsbedingung entspricht eine andere Trajektorie. Zwei anfangs verschiedene Punkte werden daher für immer verschieden bleiben. Mit anderen Worten: Die dynamische Entwicklung erhält die Anzahl der repräsentativen Punkte im Phasenraum. Diese fundamentale Eigenschaft führt dann zum Liouville-Theorem, das wir bereits im 5.Kapitel, Abschnitt 3, vorgestellt haben. Diesem Theorem zufolge verhält sich die Dichte wie eine inkompressible Flüssigkeit: Das Volumen des Gebiets, welches die repräsentativen Punkte eines Systems im Phasenraum einnehmen, wird durch die Entwicklung unverändert erhalten. Das Theorem schließt jedoch, wie schon erwähnt, nicht aus, daß die Gestalt des Gebiets sich verändert.

Unser Interesse an der Ensembletheorie liegt auf der Hand. Sobald wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen, können wir den Mittelwert einer beliebigen von den kanonischen Variablen abhängenden Eigenschaft berechnen zu , wobei das Volumenelement des Phasenraums ist.

Wenden wir uns nun der zeitlichen Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu. Sie wird bestimmt von der sogenannten Liouville-Gleichung, die aus der klassischen Hamiltonschen Dynamik abgeleitet ist. Die Ableitung, die man in jedem Lehrbuch zur statistischen Mechanik findet, soll hier nicht wiederholt werden. Wir schreiben die Liouville-Gleichung unter Verwendung des Operatorformalismus, den wir im vorigen Kapitel für die Quantenmechanik eingeführt haben. Er nimmt die Form an. Die zeitliche Ableitung von wird bestimmt von der Wirkung des Liouville-Operators auf (man beachte die Analogie zur Schrödinger-Gleichung). Die explizite Form des Liouville-Operators kann aus dem Hamilton-Operator abgeleitet werden, ist aber hier nicht von Belang. Bemerkenswert ist jedoch, daß ein hermitescher Operator ist, wie es auch die Operatoren der Quantenmechanik sind.

Die Verwendung eines Operatorformalismus in der klassischen statistischen Mechanik erlaubt uns, die für Quantensysteme entwickelten Methoden auf klassische Systeme anzuwenden und Eigenfunktionen sowie Eigenwerte für den Liouville-Operator zu definieren. Eingeführt von Koopman⁸⁹, ist er seither ausgiebig benutzt worden⁹⁰.

Eine zentrale Rolle spielt, wie in der Quantenmechanik, der Hilbert-Raum. Wir betrachten jetzt im Phasenraum definierte Funktionen . Genau wie in der Quantenmechanik können wir wieder ein Skalarprodukt und eine Norm definieren. Der einzige Unterschied ist, daß die hier betrachteten Funktionen sowohl von den Koordinaten als auch von den Impulsen abhängen.

Wie in der Quantenmechanik können wir das Eigenwertproblem betrachten. Da ein hermitescher Operator ist, sind die Eigenwerte reell. Außerdem nehmen wir an, daß die Eigenfunktionen eine vollständige orthonormale Menge bilden. Unter Verwendung dieser Menge können wir die Verteilungsfunktion nach den entwickeln: . Die zeitliche Entwicklung ist gegeben durch . ist wie in der Quantenmechanik ein unitärer Operator. Dies führt zu dem Ergebnis .

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist somit zerlegt in eine Summe von sich unabhängig entwickelnden Moden, die charakterisiert sind durch ein Gewicht , das im Zeitverlauf konstant bleibt. Da die Eigenwerte reell sind, rotiert der jeweilige Eigenmodus im Phasenraum. Der einzige Unterschied zur Quantenmechanik besteht darin, daß hier jeder Modus zur Wahrscheinlichkeit und nicht, wie in der Quantenmechanik, zur Wahrscheinlichkeitsamplitude beiträgt.

Wir erkennen hier die grundlegende Schwierigkeit jeder Theorie irreversibler Prozesse. Die Rotation im Phasenraum erhält die zeitliche Symmetrie. Eine gebrochene zeitliche Symmetrie bekäme man nur bei komplexen Eigenwerten . Dann ist , wobei der zweite Faktor einen exponentiellen Zerfall ergibt. Dies ist jedoch unmöglich, solange wir von einem hermiteschen Operator ausgehen und den Hilbert-Raum-Formalismus verwenden.

Eine Möglichkeit, die viele Autoren ergreifen, besteht darin, zu erklären, die Liouville-Gleichung sei in der Tat zeitlich reversibel, die Irreversibilität sei das Resultat einer Grobstruktur; das heißt einer approximativen Beschreibung. Damit landen wir aber wieder beim Zeitparadox. Es gibt nur zwei Möglichkeiten, das Zeitparadox zu lösen: von neuen Bewegungsgleichungen auszugehen, die die Irreversibilität einbeziehen, oder den Hilbert-Raum aufzugeben. Dank der chaotischen Systeme können wir die zweite Möglichkeit realisieren.

Man beachte, daß wir gleichfalls zur Einteilung Poincarés zurückkommen. Poincarés Einteilung in integrable und nichtintegrable Systeme geht aus von Hamilton-Qperatoren der Form . Ein solcher Hamilton-Operator entspricht dem Liouville-Operator . Wiederum können wir, wie in der Quantenmechanik, das Eigenwertproblem des Liouville-Operators nur für eine begrenzte Klasse von dynamischen Systemen (nämlich die integrablen Systeme) lösen. Wenn wir nämlich wiederum einen störungstheoretischen Ansatz verwenden und sowie in Potenzen von entwickeln: und stoßen wir auf »gefährliche« kleine Nenner von der Form , die in Anwesenheit von Resonanzen zu Divergenzen führen.

Bei integrablen Systemen sind die Lösung der Bewegungsgleichungen und die Lösung der Liouville-Gleichung gleichwertige Probleme. Was geschieht jedoch bei nichtintegrablen Systemen? Hier erkennen wir, wie wichtig der Begriff der irreduziblen statistischen Beschreibung ist. Systeme, die in der klassischen Dynamik als nichtintegrabel bezeichnet werden, sind es, wie wir im 9. und 10.Kapitel sehen werden, im Rahmen der Ensembletheorie nicht mehr. Die neuen Lösungen der Liouville-Gleichung für die Wahrscheinlichkeitsverteilung können jedoch nicht wieder auf ein individuelles System zurückübertragen werden. Im Fall chaotischer Systeme bietet die Ensemblebetrachtung also neue Elemente, die für die Lösung des Zeitparadoxons notwendig sind.