Die Gibbssche Ensemblebetrachtung läßt sich unschwer auf die Quantentheorie übertragen. Wir müssen einige formale Änderungen beachten, die auf der Tatsache beruhen, daß der Hilbert-Raum in der Quantentheorie nur die Hälfte der Variablen enthält, die in die Definition des klassischen Phasenraums eingehen.
Wir haben gesehen, daß die Wellenfunktion 
eine Wahrscheinlichkeitsamplitude
repräsentiert. Die entsprechende Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch
.
In Diracs »braket«-Schreibweise lautet die Definition von 
, gewöhnlich
als »Dichtematrix« bezeichnet,
. Es ist ein Operator,
der auf die Elemente des Hilbert-Raums wirkt. Diese Definition entspricht einem
»reinen Zustand«. Darüber hinaus können wir Situationen für betrachten,
die einer Mischung aus verschiedenen Wellenfunktionen 
entsprechen,
jeweils mit einem statistischen Gewicht 
( zwischen
0 und 1, die Summe von über k gleich 1).
Die Dichtematrix gehorcht, wie im klassischen Fall, der Liouville-Gleichung
, wobei der Unterschied in
der expliziten Form des Liouville-Operators (das heißt, in seiner Beziehung
zum Hamilton-Operator) liegt, auf die wir zurückkommen werden. In der Quantenmechanik
wird diese Gleichung als von-Neumann-Gleichung bezeichnet, und L ist der Liouville-von-Neumann-Operator.
Wir können, wiederum wie zuvor; einen Hilbert-Raum definieren. L ist gleichfalls wieder ein hermitescher Operator. Die in Abschnitt 2 geäußerten Bemerkungen über den klassischen Louville-Operator gelten hier allesamt. Es gibt einen kleinen formalen Unterschied. Gewöhnlich wird L, da es ein Operator ist, der auf Dichtematrizes (und nicht auf Wellenfunktionen) wirkt, als »Superoperator« bezeichnet.
Für integrable dynamische Systeme führt die Lösung des Eigenwertproblems für L zu Trajektorien. Hier ist die Situation ähnlich. Auch in der Quantenmechanik können wir, wenn das Eigenwertproblem für H gelöst ist, das Eigenwertproblem für L lösen und es durch Wellenfunktionen ausdrücken. Bei Quantensystemen mit diskretem Spektrum gibt es, wie wir gesehen haben, keine Schwierigkeiten. Wenn wir jedoch zu Systemen mit stetigem Spektrum und einer stetigen Menge von Resonanzen kommen, macht sich Poincarés Einteilung geltend: Es gibt im allgemeinen keine konstruktive Methode für die Lösung des Eigenwertproblems für H - und auch nicht für L.
Die Situation ändert sich daher drastisch, wenn wir nichtintegrable Systeme betrachten. Dort werden unsere Methoden zur Konstruktion von Dichtematrizes führen, die irreduzibeI sind, deren zeitliche Entwicklung also nicht durch Wellenfunktionen ausgedrückt werden kann. Dies ist ein fundamentaler Schritt, denn er zeigt die Grenzen der heutigen Quantentheorie (die eine Theorie der Wellenfunktionen ist) auf und ersetzt sie durch eine Quantentheorie der Dichtematrizes.
Erörtern wir aber zunächst die Ensemblebetrachtungsweise für Gleichgewichtssysteme
und dann für Systeme unter Nichtgleichgewichtsbedingungen. Bei Trajektorien
oder Wellenfunktionen ist die Unterscheidung zwischen Gleichgewicht und Nichtgleichgewicht
bedeutungslos. Gerade darum ist der Ensembleansatz ein naheliegender Ausgangspunkt
für eine neue Formulierung der Dynamik.