Der Fluß der Korrelationen

Wenden wir uns wieder der im 5.Kapitel untersuchten Bäcker-Transformation zu. Ungeachtet der Tatsache, daß die Bewegungsgleichungen zeitlich reversibel sind, unterscheidet die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung zwischen Vergangenheit und Zukunft. Wir haben gesehen, daß wir für schmale senkrechte Streifen erhalten, für dagegen waagerechte Streifen.

Was geschieht in einem Gibbsschen Ensemble? Gibt es dort auch eine natürliche zeitliche Anordnung der Ereignisse? So ist es in der Tat, wie wir in diesem Abschnitt sehen werden. Diese zeitliche Anordnung beruht auf der Entstehung und Ausbreitung von Korrelationen zwischen Teilchen.

Wie wir im 1.Kapitel gesehen haben, ist die zentrale Größe in Boltzmanns H-Theorem die Geschwindigkeitsverteilung . Mit Hilfe der kinetischen Theorie zeigte Boltzmann für verdünnte Gase, daß die Geschwindigkeitsverteilung sich entwickelt, bis sie die Maxwell-Boltzmannsche Gleichgewichtsverteilung hinsichtlich der Geschwindigkeit erreicht. Boltzmann zeigte, daß die berühmte H-Funktion, die er als definierte, monoton abnimmt, wenn die Geschwindigkeitsverteilung sich der Gleichgewichtsverteilung annähert. Diese H-Funktion betrachtete Boltzmann als mikroskopisches Analogon der Entropie (genauer, der negativen Entropie, da H mit der Zeit abnimmt, während die Entropie zunimmt). Wir können Boltzmanns Folgerung heute in Computersimulationen überprüfen. Betrachten wir als Beispiel ein Ensemble von harten Kugeln oder, um die Berechnungen zu vereinfachen, von harten Scheiben⁹¹. Die Bewegungsgleichungen können auf dem Computer gelöst werden. Sie beschreiben die durch Stöße unterbrochene freie Bewegung der Scheiben. Infolge der Stöße entwickelt sich die Geschwindigkeitsverteilung mit der Zeit.

In der in Abb. 8. 1 dargestellten Simulation entspricht die anfängliche Geschwindigkeitsverteilung einer Nichtgleichgewichtssituation. In regelmäßigen Zeitintervallen berechnen wir die Geschwindigkeiten der Teilchen, damit auch die Geschwindigkeitsverteilung und den Wert der Größe H. Das Ergebnis der Simulation bestätigt, daß H monoton abnimmt (wir übergehen Fluktuationen, die auf der endlichen Zahl der Teilchen in der Population beruhen), bis das Gleichgewicht erreicht ist. Wir gelangen so zur Maxwell-Boltzmannschen Geschwindigkeitsverteilung, ganz wie Boltzmann es vorhergesagt hatte. Numerische Simulationen bestätigen also, daß auf der mikroskopischen Ebene irreversible Prozesse ablaufen.

Wir haben jedoch gesehen, daß gegen Boltzmanns Theorem eingewandt wurde, es widerspreche den zeitlich reversiblen Gesetzen der Dynamik. Loschmidt behauptete, durch Geschwindigkeitsumkehr würden Stöße erzeugt, die das System wieder in seinen Ausgangszustand zurückbringen. Eine Geschwindigkeitsumkehr würde demnach bedeuten, daß es zu jeder anfänglich »Boltzmannschen« Entwicklung zum Gleichgewicht hin eine andere Entwicklung gibt, bei der die Entropie abnimmt!

Abb. 8.1 Computersimulation der Entwicklung der Boltzmannschen H-Funktion.

Ziehen wir die numerische Simulation zu Rate. Sie erlaubt uns, die Geschwindigkeitsumkehr, die man sich zu Boltzmanns Lebzeiten nur als Gedankenexperiment vorstellen konnte, experimentell durchzuführen. Abb. 8.2 zeigt die Entwicklung von harten Scheiben, deren Geschwindigkeiten nach einer bestimmten Anzahl von Stößen umgekehrt werden. Wir beobachten, daß der Wert der H-Funktion dann tatsächlich vorübergehend zunimmt. Loschmidts Einwand scheint damit auf den ersten Blick gerechtfertigt zu sein: Das Verhalten der H-Funktion würde demnach von der jeweiligen Wahl des Ausgangszustands abhängen!

Abb. 8.2 Computersimu1ation eines Geschwindigkeitsumkehr-Experiments nach 50 bzw. 100 Kollisionen

Wenn wir uns Abb. 8.2 jedoch genauer ansehen, erkennen wir; daß der Pfeil der Zeit in Wirklichkeit noch immer regiert. Die Geschwindigkeitsumkehr hat nur eine flüchtige Wirkung. Außerdem erreicht H, wenn die Umkehr nach längerer Zeit (das heißt nach mehr Stößen) erfolgt, nicht mehr seinen vollen Ausgangswert, sondern einen niedrigeren. Natürlich hätten wir die Differenz mit einem leistungsstärkeren Computer verringern können. Doch bei einer längeren Zeit würde das Problem erneut auftreten. Je zahlreicher die Stöße vor der Geschwindigkeitsumkehr, desto schwieriger wird es, ein System zu »präparieren«, das seinen Ausgangszustand wieder erreicht. Wir stoßen, mit anderen Worten, wieder auf die Existenz eines Zeithorizonts (die Relaxationszeit, das heißt die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen, ist hier das Analogon der Ljapunow-Zeit). Es existiert eine »Entropiebarriere«, die uns daran hindert, nach einer hinreichend langen Entwicklungszeit durch Geschwindigkeitsumkehr den Ausgangszustand wiederherzustellen.

Abb. 8.3 Kollision, die Korrelationen (dargestellt durch die Wellenlinie) erzeugt.

Kommen wir nun auf die Definition der dynamischen Korrelationen zurück. Boltzmann führte das Konzept der Korrelationen ein, nachdem Loschmidt den »Umkehreinwand« vorgetragen hatte. Mit seiner Hilfe beschrieb Boltzmann den Unterschied zwischen Ausgangszuständen, die zu einem »Boltzmannschen« Verhalten führen, und solchen, die zu einer »anti-Boltzmannschen« Entwicklung führen. Boltzmann war ursprünglich von der Annahme des »molekularen Chaos« ausgegangen: Die Teilchen sind vor dem Stoß unabhängig voneinander⁹². Die Geschwindigkeitsumkehr führt zu einem »anti-Boltzmannschen« Verhalten, weil sie diese Annahme widerlegt. Wenn wir die Geschwindigkeiten umkehren, muß die Beschreibung der neuen Situation berücksichtigen, daß die stoßenden Teilchen nicht mehr unabhängig voneinander sind. Die Geschwindigkeitsumkehr »weckt« gewissermaßen die »Erinnerung« an die Stöße vor der Umkehr. Stöße modifizieren also nicht nur die Geschwindigkeitsverteilung, sondern erzeugen Korrelationen zwischen den Teilchen, und diese Korrelationen sind für den Unterschied zwischen der Boltzmannschen und der anti-Boltzmannschen Entwicklung verantwortlich. Die zeitweilige anti-Boltzmannsche Entwicklung, die wir bei den Computerexperimenten beobachten, entspricht Stößen, die Korrelationen zerstören (Abb. 8.3, 8.4).

Abb. 8.4 Nach einer Geschwindigkeitsumkehr zerstört die Kollision zwischen zwei Teilchen Korrelationen, die vor der Kollision bestanden (dargestellt durch die Wellenlinie).

Die Korrelationen dürfen nicht mit Kräften zwischen den Teilchen verwechselt werden. Wir haben Korrelationen bereits im Zusammenhang mit makroskopischen Nichtgleichgewichtssituationen eingeführt (3.Kapitel). Wir haben gesehen, daß Nichtgleichgewichtszustände durch langreichweitige Korrelationen charakterisiert sind. Hier geht es um Korrelationen auf der mikroskopischen dynamischen Ebene. Wie zuvor besteht der wesentliche Unterschied zwischen Kräften, die zwischen den Teilchen wirken, und Korrelationen darin, daß die Kräfte (anders gesagt, die potentielle Energie) Bestandteil der Definition des Systems sind, die hier durch den Hamilton-Operator gegeben ist. Sie können nicht durch dessen Entwicklung erzeugt oder zerstört werden. Was wir dagegen jetzt diskutieren, ist das Auftreten von Korrelationen durch dynamische Prozesse. Was den Korrelationen als Vergleich am ehesten entspricht, ist »Kommunikation«. Wenn Menschen sich treffen, »kommunizieren« sie, und wenn sie auseinandergehen, erinnern sie sich an ihre Begegnung. Außerdem wird, wenn Menschen, die sich getroffen haben, anschließend andere treffen, irgend etwas von ihrer ersten Begegnung weitergegeben, also auf eine ständig wachsende Zahl von Menschen übertragen. In diesem Sinne haben wir in einem System stoßender Teilchen einen Fluß der Korrelationen: Durch einen Stoß zwischen zwei Teilchen erzeugte binäre Korrelationen werden durch einen weiteren Stoß in ternäre Korrelationen verwandelt und so weiter (Abb. 8.5).

Abb. 8.5 Sukzessive Kollisionen erzeugen binäre, dann ternäre, dann höhere Korrelationen zwischen Teilchen.

Dieser Fluß der Korrelationen erklärt den Unterschied zwischen einer boltzmannschen und einer antiboltzmannschen Entwicklung.

Es besteht außerdem ein enger Zusammenhang zwischen dem Fluß der Korrelationen und Poincarés Einteilung in integrable und nichtintegrable Systeme. Man könnte sich vorstellen, daß der Zusammenhang in »Stößen« besteht, da das Ergebnis Resonanzen sind. Sie entsprechen in der Tat einem resonanten Energietransfer. Ein Stoß zwischen zwei Teilchen mit den Geschwindigkeiten und führt zu den neuen Geschwindigkeiten und , während er die Gesamtenergie und den Impuls unverändert läßt (Abb. 8.6). Stöße sind nicht auf verdünnte Gase beschränkt, sondern treten in allen Zuständen der Materie auf, seien es Gase, Flüssigkeiten oder Festkörper. Alle in der statistischen Mechanik des Nichtgleichgewichts untersuchten Systeme sind nichtintegrable Systeme im Sinne Poincarés.

Wir wollen den Zusammenhang zwischen den Korrelationen und der Nichtintegrierbarkeit weiter klären. Wir betrachten dazu eine klassisch-dynamische Situation, doch gelten unsere Überlegungen auch für die Quantentheorie.

Wir greifen auf die Ensemblebeschreibung zurück, bei der es um geht, die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t ein System am Punkt im Phasenraum anzutreffen.

Abb. 8.6 Kollision als resonante Energieübertragung.

Untersuchen wir, welche Information in enthalten ist⁹³. Wenn wir diese Funktion über die Koordinaten integrieren, erhalten wir die Funktion , die nur Information über die Impulse enthält. Information über den Ort der Teilchen oder über ihre Korrelationen im Raum ist ja definitionsgemäß nicht in enthalten. Deshalb nennen wir das »Korrelationenvakuum«.

Wir können ferner definieren , worin zusätzlich die Information über die räumliche Lage des Teilchens i enthalten ist, und , worin die Information über die Orte des Teilchenpaares i und j enthalten ist. Infolge der Wechselwirkungen zwischen den Teilchen wird die Lage der Teilchen i und j nicht unabhängig voneinander sein; hält daher die Information über Korrelationen zwischen zwei Teilchen oder, kurz, über binäre Korrelationen.

In homogenen Systemen haben die Teilchen definitionsgemäß eine gleichförmige Verteilung im Raum, und folglich ist identisch mit . Diesen Fall wollen wir betrachten. Wie schon gesagt, enthält Information über binäre Korrelationen; betrifft in diesem Sinne die ternären Korrelationen, das sind Korrelationen, die zwischen Gruppen von drei Teilchen bestehen. Kurz, wir können zerlegen in das Vakuum der Korrelation sowie in »Korrelationenzustände«

Diese Uberlegungen können wir auf die Quantenmechanik übertragen. Ein Unterschied besteht allerdings darin, daß wir in der Quantenmechanik nicht Koordinaten und Impulse zugleich benutzen können, sondern uns für einen Term entscheiden müssen. Nehmen wir die Impulse. Der Dichtematrix entspricht eine Matrixdarstellung durch die Impulse, die von der Form ist. Wir haben diagonale Elemente und nichtdiagonale Elemente, wo zumindest eine dieser Beziehungen verletzt ist. Wir können ein Analogon zur klassischen Zerlegung von einführen. In der Quantenmechanik entspricht das Vakuum der Korrelation den diagonalen Elementen von und den nichtdiagonalen Elementen, in denen die -Variablen von verschieden sind.

Zurück zum klassischen Fall. Da es lediglich die Geschwindigkeitsverteilung enthielt, war Boltzmanns H-Theorem beschränkt auf die Beschreibung eines Systems durch das »Korrelationenvakuum« . Diese Beschreibung gilt nur für ein hinreichend verdünntes Gas, und selbst dort ist sie, wie wir gesehen haben, nach Geschwindigkeitsumkehr nicht mehr gültig: Die Korrelationen zwischen Teilchen, die in der Vergangenheit kollidiert sind, schwächen die Hypothese vom molekularen Chaos.

Es muß betont werden, daß wir die verschiedenen Korrelationszustände durch Mittelwerte von Observablen kennen. So hängt die kinetische Energie nur von den Impulsen einzelner Teilchen ab, und ihr Mittelwert betrifft daher nur . Die potentielle Energie hängt vom Abstand zwischen Paaren zweier Teilchen ab und hängt daher mit zusammen. Generell hängen die Observablen nur von einer kleinen Zahl von Koordinaten und Impulsen und damit auch nur von einer kleinen Zahl von Korrelationen ab.

Wie wirken sich nun solche Wechselwirkungen wie Stöße auf Korrelationszustände aus? Wir kommen hier zum Problem der Dynamik der Korrelationen. Wir wissen, daß Stöße Korrelationen erzeugen. Wenn ein Teilchen, das bereits mit einem anderen korreliert ist, auf ein drittes stößt, wird eine ternäre Korrelation erzeugt, und so weiter. Generell werden die verschiedenen Korrelationszustände durch Wechselwirkungen ineinander transformiert.

Der Zusammenhang zwischen dem Fluß der Korrelationen und dem Poincaré-Theorem ist jetzt unschwer zu verstehen. Integrable Systeme sind solche, bei denen wir die Wechselwirkungen eliminieren können. Damit wird auch der Fluß der Korrelationen eliminiert. So wird beispielsweise die Entwicklung eines Systems, das anfangs ein Korrelationenvakuum besitzt, nie zum Auftreten von binären, ternären und so weiter Korrelationen führen. In integrablen Systemen entwickeln sich die Korrelationszustände unabhängig voneinander. Es gibt keinen Fluß der Korrelationen.

Integrable Systeme haben eine weitere Eigenschaft: Das Vakuum der Korrelation (das nur eine Funktion von Impulsen oder Wirkungsvariablen ist) bleibt zeitlich konstant. Wir werden dies im 10.Kapitel belegen. Eine ähnliche Eigenschaft gilt in der Quantenmechanik. Bei allen Systemen, für die Heisenbergs Eigenwertproblem für den Hamilton-Operator gelöst werden kann, sind alle diagonalen Elemente der Dichtematrix konstant. In beiden Fällen kann es keine Annäherung an das Gleichgewicht geben, denn das würde voraussetzen, daß eine Funktion lediglich der Energie wird (man denke etwa an das mikrokanonische Ensemble, siehe Abschnitt 4).

Anders als bei Poincarés nichtintegrablen Systemen werden kontinuierlich Korrelationen erzeugt. Nichtintegrierbarkeit bedeutet, daß wir den Fluß der Korrelationen durch keine (kanonische) Transformation eliminieren können. Der Fluß der Korrelationen hat, wie alle irreversiblen Prozesse, einen intrinsischen Charakter.

Zudem wird das Korrelationenvakuum nun zeitabhängig. Wir können bereits die Feststellung treffen, daß kinetische Gleichungen wie die Boltzmanns nur für »nichtintegrable« Systeme gültig sein können, seien diese klassischer oder quantenmechanischer Natur.