»Rigged« Hilbert-Räume

Im 5.Kapitel haben wir gesehen, daß die Instabilität, das Chaos, uns zwingt, die Trajektorienbeschreibung der klassischen Mechanik aufzugeben und zu einer Beschreibung durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung überzugehen. Ein Beispiel ist die im 5.Kapitel, Abschnitt 2, untersuchte Bernoulli-Abbildung. Nach n Iterationen ist die Wahrscheinlichkeit, eine Trajektorie am Punkt x zu finden, . Die nächste Iteration transformiert sie in . Wir können demnach schreiben: , wobei , der Entwicklungsoperator ist. Im Zusammenhang von Abbildungen bezeichnet man den Entwicklungsoperator als »Perron-Frobenius-Operator«. Untersuchen wir nun diesen Operator und besonders seine Beziehung zur Ljapunow-Zeit, die für das Chaos verantwortlich ist. Dieses Problem hängt eng zusammen mit den Fragen, die wir im 7. und 8.Kapitel erörtert haben. Dort untersuchten wir die Entwicklungsoperatoren in der Quantenmechanik (7.Kapitel) und im Rahmen der Ensembletheorie (8.Kapitel). Wir haben gesehen, daß diese Operatoren unitär sind (sie erhalten das Skalarprodukt) und im Hilbert-Raum zu Eigenwerten modulo 1 führen, also zu periodischen Funktionen der Zeit wie zum Beispiel . Bei chaotischen Systemen erwarten wir dagegen, daß der Entwicklungsoperator die Annäherung an das Gleichgewicht beschreibt und daher beispielsweise die Relaxationszeit enthält. Wir benötigen daher, wie schon erwähnt, komplexe spektrale Darstellungen.

Die beiden Beispiele, die wir in diesem Kapitel diskutieren, sind die Bernoulli-Abbildung und die Bäcker-Transformation. Für die Bernoulli-Abbildung existiert keine spektrale Darstellung im Hilbert-Raum. Aus Gründen, die wir in Abschnitt 2 untersuchen, können die Methoden, die im 7. und 8.Kapitel vorgestellt wurden, nicht auf den Perron-Frobenius-Operator angewandt werden. Um die Eigenfunktionen und Eigenwerte dieses Operators zu bestimmen, müssen wir Funktionen betrachten, die sehr singulär und nicht quadratisch-integrierbar sind. Deshalb greifen wir auf generalisierte Räume (oft als »rigged« Hilbert-Räume bezeichnet) zurück. Wir erhalten dann eine komplexe spektrale Darstellung des Perron-Frobenius-Operators für die Bernoulli-Abbildung. Außerdem sind die Eigenwerte direkt mit der Ljapunow-Zeit verknüpft. Die Beschreibung der zum Gleichgewicht führenden irreversiblen Prozesse ist auf diese Weise streng in die dynamische Darstellung einbezogen.

Bei der Bäcker-Transformation ist die Situation anders. Im 5.Kapitel stellten wir bereits fest, daß die Bäcker-Transformation - im Gegensatz zu der nichtumkehrbaren Bernoulli-Abbildung - einem dynamischen System entspricht. Wir können hier eine spektrale Darstellung des Perron-Frobenius-Operators im Hilbert-Raum erhalten. Die Eigenwerte (modulo 1) weisen jedoch keinen Zusammenhang mit der Ljapunow-Zeit auf. Sie geben daher den chaotischen Erscheinungen der Bäcker-Transformation nicht explizit Ausdruck. Vor einiger Zeit wurde jedoch entdeckt, daß chaotische dynamische Systeme anderen spektralen Darstellungen zugänglich sind⁹⁷. Außer der spektralen Darstellung des Entwicklungsoperators in Hilbert-Räumen können wir in diesem Fall nämlich noch eine neue Darstellung in generalisierten Räumen konstruieren, die die zeitliche Entwicklung mit der Ljapunow-Zeit verknüpft und eine gebrochene zeitliche Symmetrie aufweist. Diese Darstellung ist außerdem, wie im Fall der Bernoulli-Abbildung, irreduzibel, da sie nicht auf individuelle Trajektorien anwendbar ist.

Man kann daher fragen: Welche Darstellung ist die richtige? Mathematisch gesehen sind beide korrekt. Die neuen Darstellungen gehen jedoch weiter, da sie die Ljapunow-Zeit, die den Zeithorizont chaotischer Systeme charakterisiert, in das Spektrum des Entwicklungsoperators einbezieht. Sie erlauben es daher, die Annäherung an das Gleichgewicht zu beschreiben. Da sie explizit eine gebrochene zeitliche Symmetrie aufweisen, beziehen sie die Irreversibilität auf der fundamentalen dynamischen Ebene ein (was dem Perron-Frobenius-Operator entspricht).

Die Bäcker-Transformation stellt eine gewisse Ausnahme dar, ähnlich wie das Friedrichs-Modell (siehe 8. und 10.Kapitel). Es gibt ganz wenige Systeme, für die man sowohl im Hilbert-Raum als auch in generalisierten Räumen die spektrale Darstellung kennt. Im allgemeinen hindern uns Poincaré-Divergenzen daran, die spektrale Darstellung im Hilbert-Raum zu konstruieren, während der Ansatz, den wir im 10.Kapitel skizzieren werden, zu einer systematischen Methode führt, die spektrale Darstellung in generalisierten Räumen zu konstruieren.

Ganz wesentlich ist, daß die neuen Darstellungen irreduzibel sind. Es hieß immer, das mit einer »Empfindlichkeit für die Anfangsbedingungen« verbundene Chaos führe zu »nicht berechenbaren« Trajektorien. Es schien so, als sei dies nur eine technische Schwierigkeit. Wir erkennen jetzt, daß die Schwierigkeit viel tiefer liegt. Es besteht so etwas wie Komplementarität zwischen der Irreversibilität auf der Ebene statistischer Ensembles einerseits und Trajektorien andererseits.

Die Irreversibilität, die sich im Zeitpfeil äußert, ist eine statistische Eigenschaft. Sie kann nicht auf der Ebene individueller Trajektorien (oder Wellenfunktionen) eingeführt werden und erfordert daher eine radikale Abkehr von den Naturanschauungen der Newtonschen und der orthodoxen Quantenphysik, in deren Mittelpunkt individuelle Trajektorien (oder Wellenfunktionen) stehen. Schon Boltzmann hatte erkannt, daß wir eine Betrachtungsweise brauchen, die auf Populationen beruht. Sein Programm können wir heute mit aller mathematischen Strenge durchführen.

Der irreduzible Charakter der neuen spektralen Darstellung kann als die grundlegende Eigenschaft chaotischer Systeme, als Definition schlechthin des Chaos aufgefaßt werden. Man kann, anders gesagt, ein dynamisches System klassischer oder quantenmechanischer Natur als chaotisch betrachten, wenn seine Beschreibung sich nicht auf individuelle Trajektorien oder Wellenfunktionen reduzieren läßt. Dies erscheint uns als eine sehr naheliegende Erweiterung der Definition des Chaos. Für Abbildungen ist diese Definition gleichbedeutend mit der Existenz einer Ljapunow-Zeit, das heißt eines Zeithorizonts. Unsere Definition faßt die Idee des Chaos jedoch sehr viel weiter, wie wir im 10.Kapitel sehen werden.

Wir möchten hier einige einführende Bemerkungen über generalisierte Räume vortragen⁹⁸. Dies ist ein weites Kapitel der modernen Mathematik. Wir möchten lediglich eine gewisse Ahnung davon vermitteln, um was es bei den neuen Konzepten geht.

Sie erinnern sich, daß der Hilbert-Raum die Erweiterung des gewöhnlichen euklidischen Raums in den Funktionsraum ist (siehe 7.Kapitel). Es geht beim Hilbert-Raum, wie wir gesehen haben, um quadratisch-integrierbare Funktionen. Die grundlegenden Begriffe sind das Skalarprodukt und die Norm .

Zur Beschreibung des Chaos reichen, wie wir sehen werden, quadratisch-integrierbare Funktionen nicht aus. Eine wichtige Rolle spielen singuläre Funktionen (auch Verteilungen genannt). Ein Beispiel einer singulären Funktion ist die von Dirac eingeführte -Funktion: verschwindet für alle Werte von außer ; in diesem Fall wird es unendlich. Sie hat die wichtige Eigenschaft, daß sie in Verbindung mit einer stetigen Funktion zu wird.

Natürlich ist nicht im Hilbert-Raum, da ihre Norm unendlich ist.

Trotzdem ist es möglich, das Skalarprodukt zu verallgemeinern und singuläre Funktionen einzubeziehen, wenn wir für geeignete Funktionen wählen, sogenannte Prüffunktionen. Prüffunktionen lassen das Skalarprodukt wohldefiniert werden. In dem oben angeführten Beispiel mit ist die stetige Funktion eine Prüffunktion. Wir können nun wie im 7.Kapitel die Wirkung eines Operators auf eine Verteilung definieren durch , wobei , der adjungierte Operator, auf die stetige Funktion wirkt. Dieser ist nur dann wohldefiniert, wenn auch eine Prüffunktion ist. Wir können sogar das Eigenwertproblem verallgemeinern und Verteilungen einbeziehen. Das Eigenwertproblem hat eine wohldefinierte Bedeutung, wenn wir Prüffunktionen derart verwenden, daß .

Wir kommen jetzt zu einem wichtigen Punkt: Was bedeutet die Anwendung des Entwicklungsoperators auf eine Verteilung ? Definitionsgemäß ist . Dies hat wiederum eine wohldefinierte Bedeutung nur dann, wenn auch für alle Zeiten eine Prüffunktion ist. Wir werden sehen, daß diese Bedingung für chaotische Systeme im allgemeinen erfüllt ist, aber nicht für alle t (entweder für t > 0 oder für t < 0). Die Prüffunktionen für die Zukunft unterscheiden sich von denen für die Vergangenheit. Diese bemerkenswerte Tatsache ist es, die zur Brechung der zeitlichen Symmetrie führt und die Lösung des Zeitparadoxons ermöglicht.

Beenden wir diesen Abschnitt mit einer Anmerkung. In diesem Kapitel wollen wir Abbildungen wie die Bernoulli-Abbildung und die Bäcker-Transformation untersuchen. Wir folgen damit nicht der historischen Reihenfolge. Zunächst haben wir das Zeitparadox für Klassen Hamiltonscher Systeme (klassischer oder quantenmechanischer Natur) erhellt. Dazu bedarf es aber der Elimination der Poincaréschen Divergenzen und folglich zusätzlicher Überlegungen. Da die Untersuchung von Abbildungen sehr viel einfacher ist, tragen wir sie zuerst vor. In den Abschnitten 2 und 3 dieses Kapitels ist die Verwendung einiger Fachbegriffe jedoch unumgänglich. Der Laie mag sie überspringen und bei Abschnitt 4 weiterlesen.