Die Bernoulli-Abbildung

Als erstes Beispiel werden wir die zeitliche Entwicklung der Bernoulli-Abbildung untersuchen. Die »Bewegungsgleichung« ist, wie wir gesehen haben, . Dies führt zur expliziten Form des Entwicklungsoperators . (Der Leser kann diesen Ausdruck leicht nachprüfen: Eine Trajektorie wird dargestellt durch die -Funktion , die Bernoulli-Abbildung transformiert sie für in und für in ). Wir stellen fest, daß, wenn eine Konstante gleich ist, ebenfalls eine Konstante ist: . Diese gleichförmige Verteilung entspricht dem Gleichgewicht. Es wird erreicht für . Wenn beispielsweise ist, dann ist , und sukzessive Iterationen führen, wie wir schon an einem Beispiel im 5.Kapitel gesehen haben, zu einer Konstante⁹⁹.

Nun können wir das mit , verbundene Eigenwertproblem betrachten. Es läßt sich leicht nachprüfen, daß . Somit ist eine dem Eigenwert entsprechende Eigenfunktion. Wir erkennen hier einen wesentlichen Unterschied zu den im 7. und 8.Kapitel untersuchten Problemen. Dort war der mit dem Entwicklungsoperator verbundene Eigenwert modulo 1 (das heißt von der Form mit k reell). Hier ist der Eigenwert . Wir erhalten eine komplexe spektrale Theorie (der Eigenwert entspricht ). Der Eigenwert ist außerdem verknüpft mit dem Ljapunow-Exponenten, der genau gleich ist. Die Anwendung von auf die Verteilung führt zur Dämpfung. Durch Iteration von erhalten wir , was für gegen 0 geht.

Die Funktion gehört zu einer ganzen Familie von Polynomen, den sogenannten »Bernoulli-Polynomen« , die Eigenfunktionen von mit Eigenwerten sind, wobei n der Grad der Polynome ist¹⁰⁰. Wenn wir als eine Überlagerung von Bernoulli-Polynomen schreiben, verschwinden die Polynome des höheren Grades zuerst, da ihr Dämpfungsfaktor größer ist. Das ist der Grund, warum die Verteilungsfunktion rasch einer Konstante zustrebt.

Es scheint zunächst, als hätten wir das Eigenwertproblem für die Bernoulli-Abbildung gelöst, aber das ist nicht der Fall. Um die Schwierigkeiten zu erkennen, wollen wir den adjungierten Operator betrachten, das Adjungierte zu (wir erinnern daran, daß der adjungierte Operator definiert ist durch ). Unter Verwendung des oben angegebenen Ausdrucks für läßt sich leicht zeigen, daß für und , für Überdies kann gezeigt werden, daß ein isometrischer Operator ist (siehe 7.Kapitel, Abschnitt 1). Er erhält das Skalarprodukt (der Unterschied zum unitären Operator ist, daß er kein Inverses zuläßt; dies beruht auf der Tatsache, daß die Bernoulli-Abbildung nicht umkehrbar ist). Ein isometrischer Operator hat nur Eigenwerte modulo 1 im Hilbert-Raum, während , wie wir gesehen haben, Eigenwerte haben kann. Es läßt sich generell zeigen, daß keine spektrale Darstellung im Hilbert-Raum besitzt. hat dagegen Eigenfunktionen und Eigenwerte in generalisierten Räumen. ist beispielsweise eine Eigenfunktion von : . Wir haben daher eine Eigenfunktion von die jedoch eine singuläre Funktion ist. Nennen wir sie : Sie hat den gleichen Eigenwert wie das Bernoulli-Polynom bezüglich

Es existiert eine ganze Menge von singulären Funktionen , die Eigenfunktionen von sind und den gleichen Eigenwerten wie entsprechen. Der wesentliche Punkt ist, daß wit, da diese Eigenfunktionen keine Norm haben, wie sie der Hilbert-Raum verlangt, zu generalisierten Räumen übergehen müssen. Es ergeben sich weitere Generalisierungen. Im 7.Kapitel, Abschnitt 4, haben wir orthonormale Mengen von Eigenfunktionen eingeführt. Es ist eine geringfügige Verallgemeinerung, eine biorthonormale Menge einzuführen. In unserem Problem haben wir die Menge der Bernoulli-Polynome und die Menge , die Eigenfunktionen von mit dem gleichen Eigenwert sind. Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingungen ebenso wie die Bedingungen der Vollständigkeit . Die Funktionen und bilden eine biorthonormale Menge.

Wir können daher wie in der Quantenmechanik die Entwicklung der Wahrscheinlichkeit nach dieser biorthogonalen  Menge durchführen. Doch es gibt eine wesentliche Einschränkung: Da singuläre Funktionen sind, muß eine Prüffunktion sein. Folglich kann nicht eine einzelne Trajektorie sein, die durch eine -Funktion dargestellt wird, für welche das Skalarprodukt divergieren würde.

Unsere spektrale Theorie ist daher nur gültig für Ensembles von Trajektorien. Sie ist unvereinbar mit der Beschreibung der zeitlichen Entwicklung durch einzelne Trajektorien. Dies ist ein fundamentales Ergebnis. Für chaotische Systeme - und die Bernoulli-Abbildung ist das einfachste Beispiel eines chaotischen Systems - ist die probabilistische Beschreibung irreduzibel. Dies steht in scharfem Gegensatz zu dem Gibbs-Einsteinschen Ansatz, den wir im 8.Kapitel beschrieben haben und der reduzibel ist, da er sich auf die Beschreibung individueller Trajektorien als einen Sonderfall reduziert.

Indem wir noch einmal auf Diracs »bra-ket«-Schreibweise zurückgreifen, können wir jetzt die spektrale Zerlegung von , und geben. Unter Verwendung der biorthonormalen Menge , haben wir , wie sich durch Multiplizieren mit und unter Verwendung der Orthogonalitätsbedingungen nachprüfen läßt. Dies muß man vergleichen mit der spektralen Darstellung in der Quantenmechanik, die im 7.Kapitel, Abschnitt 4, beschrieben wurde. Der Hauptunterschied ist, wie schon gesagt, daß in unseren neuen spektralen Darstellungen dissipative Effekte auftreten, die mit der Ljapunow-Zeit zusammenhängen, während wir es in der üblichen spektralen Darstellung mit zeitlich periodischen Situationen (die Eigenwerte sind modulo 1) zu tun haben.

Wir sehen in unserer irreduziblen spektralen Darstellung einen Ausdruck des fundamentalen »Naturgesetzes«, das die Bernoulli-Abbildung beschreibt. Sie beantwortet nämlich die Fragen, die wir stellen können. Gesetzt, eine anfängliche Wahrscheinlichkeitsverteilung sei gegeben. Wie wird sie sich entwickeln? Wie schnell werden wir das Gleichgewicht erreichen? Unsere Theorie gibt auf diese Fragen eine analytische Antwort, die völlig im Einklang mit Computerexperimenten ist. Die anfängliche Verteilungsfunktion muß jedoch eine Prüffunktion sein¹⁰¹. Das bedeutet im wesentlichen, daß die Verteilungsfunktion hinreichend glatt sein muß. Aus diesem Grunde sind (durch -Funktionen beschriebene) individuelle Trajektorien ausgeschlossen. Einstein hat einmal in einer Diskussion mit Heisenberg gesagt, daß die Theorie darüber entscheide, was »beobachtbar« ist und was nicht. In diesem Fall entscheidet die Theorie, daß Trajektorien keine Observablen sind, vollkommen unabhängig vom Problem der Berechnung.