Die Bäcker-Transformation

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Die Bäcker-Transformation

Die Bäcker-Transformation ist, wie schon gesagt, ein dynamisches System. Zunächst haben wir eine Trajektorienbeschreibung, die infolge des Chaos zu Schwierigkeiten führt. Sodann haben wir eine Ensemblebeschreibung durch Wahrscheinlichkeiten, die den im 8.Kapitel, Abschnitt 2, erörterten Operator $\upsilon \left( t\right)$ als einen unitären Operator enthält. Dieser Operator hat, wie in Abschnitt 1 erwähnt, eine spektrale Darstellung im Hilbert-Raum, doch seine Eigenwerte stehen in keinem Zusammenhang zur Ljapunow-Zeit, und sie erhalten die Symmetrie zwischen Vergangenheit und Zukunft aufrecht. Es ist eine reduzible Darstellung, da sie als einen Sonderfall individuelle Trajektorien enthält. Wir suchen jetzt nach einer dritten Formulierung der Gesetze der Dynamik in Gestalt einer irreduziblen probabilistischen Darstellung.

Wir können uns eng an die Darstellung in Abschnitt 2 halten. Um Eigenwerte wie $\frac{1}{2^{n}}$ ( modulo ungleich 1) zu erhalten, müssen wir den Hilbert-Raum verlassen. Die entsprechenden Eigenfunktionen sind ebenfalls singulär (wie die in Abschnitt 2 untersuchten $B^{'}_{n}\left( x\right)$ ). Wir werden sie nicht explizit hinschreiben, da man sie in der Literatur nachsehen kann¹⁰². Wir werden nur die Bedingungen für Prüffunktionen diskutieren, die zu einer Brechung der zeitlichen Symmetrie führen. Wir tragen hier Plausibilitätsargumente vor. Beweise findet man an anderer Stelle.

Wir haben schon in den Abschnitten 1 und 2 darauf hingewiesen, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\rho$ eine Prüffunktion sein muß. In der Bäcker-Transformation ist $\rho$ eine Funktion von zwei Koordinaten x und y sowie der Zeit: $\rho \left( x,y,t\right)$ . Gesetzt, bei $t_{0}$ sei $\rho \left( x,y,t_{0}\right)$ tatsächlich eine Prüffunktion. Wird es das auch für $t>0$ oder $t<0$ bleiben? Im 5.Kapitel haben wir gesehen, daß wir, um für $t\rightarrow \infty$ dem Gleichgewicht näherzukommen, Funktionen $\rho \left( x,y,t\right)$ benötigen, die in der Koordinate x stetig sind. Diese Bedingung wird durch die Anwendung des Entwicklungsoperators $\upsilon$ , auf die Verteilungsfunktion $\rho$ für $t>0$ aufrechterhalten, nicht aber für $t<0$ . Man kann expliziter zeigen, daß der Perron-Frobenius-Operator die Funktion $\rho \left( x,y,t\right)$ für $t>t_{0}$ in x stetig erhält, wenn sie für $t_{0}$ stetig war. Für $t<t_{0}$ trifft das nicht zu. Wir haben nämlich im 5.Kapitel gesehen, daß wir für $t\rightarrow -\infty$ zu einer Verteilung kommen, die aus immer schmaler werdenden Streifen parallel zur y-Achse gebildet wird. Eine solche Funktion wird unstetig in x. $\rho \left( x,y,t\right)$ , das für $t_{0}$ in x stetig ist, ist daher eine Prüffunktion für $\upsilon _{+t}$ nicht aber für $\upsilon _{-t}$ .

Kurz, wir können zeigen, daß Prüffunktionen zu zwei verschiedenen Klassen gehören, je nachdem, ob wir die Entwicklung zur Zukunft oder die zur Vergangenheit betrachten. Das bedeutet aber, daß die durch den Entwicklungsoperator $\upsilon _{t}$ definierte dynamische Gruppe jetzt in zwei Halbgruppen aufgespalten ist, die eine für $\upsilon _{+t}$ die andere für $\upsilon _{-t}$ .

Wir erwähnten bereits, daß wir für die Bäcker-Transformation zwei spektrale Darstellungen haben, die eine im Hilbert-Raum, die andere, die wir soeben vorgestellt haben, in generalisierten Räumen. Beide sind mathematisch korrekt, aber sie sind nicht äquivalent, da nur die zweite den chaotischen Charakter der Bäcker-Transformation zeigt und die Annäherung an das Gleichgewicht beschreibt.

Unsere neue Darstellung ist somit reicher als die übliche, da sie wesentliche neue Merkmale einbezieht.

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Frank Schlaefendorf
17.04.2006