Solange wir Trajektorien betrachten, kann man kaum von den »Gesetzen des Chaos« sprechen. Wir haben es dann mit den negativen Aspekten des Chaos zu tun, zum Beispiel mit exponentieller Divergenz und mit Unberechenbarkeit. Die Situation ändert sich einschneidend, wenn wir zu einer probabilistischen Beschreibung übergehen. Die Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten bleibt für alle Zeiten gültig. Die Gesetze der Dynamik müssen daher auf der probabilistischen Ebene formuliert werden. Das genügt jedoch nicht. Um die Brechung der zeitlichen Symmetrie einzubeziehen, müssen wir den üblichen Hilbert-Raum verlassen. In den hier untersuchten einfachen Beispielen beruhen die irreversiblen Prozesse auf der Ljapunow-Zeit, doch all diese Überlegungen können übertragen werden auf allgemeinere Abbildungen, die andere irreversible Prozesse wie etwa die Diffusion umfassen103.
Die probabilistische Beschreibung, zu der wir gelangt sind, ist irreduzibel: Das ist das unumgängliche Resultat der Tatsache, daß die Eigenfunktionen singuläre Funktionen sind. Diese Tatsache kann man, wie schon gesagt, als Ausgangspunkt für eine neue, allgemeinere Definition des »Chaos« nutzen. In der klassischen Dynamik wird das Chaos durch die exponentielle Divergenz von Trajektorien definiert, doch gilt diese Definition nicht für die Quantentheorie (und gleichfalls nicht für »große« klassische Systeme wie die im 6.Kapitel eingeführten großen Poincaré-Systeme).
Die Quantentheorie kennt keine exponentielle Divergenz von Wellenfunktionen und damit auch keine »Empfindlichkeit für die Anfangsbedingungen« im üblichen Sinne. Dennoch werden wir im nächsten Kapitel zeigen, daß es Quantensysteme gibt, die durch irreduzible probabilistische Beschreibungen charakterisiert werden. Diese Systeme sind außerdem von fundamentaler Bedeutung für unsere Naturbeschreibung. Auch werden die grundlegenden Gesetze der Physik auf diese Systeme angewandt, doch im Sinne von Wahrscheinlichkeiten (und nicht von Wellenfunktionen). Sie unterscheiden mit der im 7.Kapitel eingeführten Begrifflichkeit nicht zwischen »reinen Zuständen« und »Gemischen«. Auch ein anfangs reiner Zustand wird im Laufe der Zeit in ein Gemisch transformiert. Wir übertragen die in diesem Kapitel gewonnenen Resultate und bezeichnen alle dynamischen Systeme, seien sie klassischer oder quantenmechanischer Natur, die zu einer irreduziblen Darstellung im Sinne von Wahrscheinlichkeiten führen, als chaotisch.
Die in diesem Kapitel geschilderte Untersuchung von Abbildungen ist von großem Interesse. Sie verdeutlicht, was wir unter einer »dritten«, irreduziblen Formulierung der Naturgesetze verstehen. Abbildungen sind allerdings nur abstrakte, geometrische Modelle. Wir wenden uns nun dynamischen Systemen zu, die auf einer Hamiltonschen Beschreibung beruhen, die schlechthin die Grundlage unseres heutigen Verständnisses der »Naturgesetze« ist.