Im 9.Kapitel haben wir die Dynamik von Abbildungen untersucht. Die irreduzible, probabilistische Beschreibung, die wir abgeleitet haben, macht Eigenschaften, die in der Trajektorienbeschreibung dynamischer Systeme nicht vorkommen, explizit. Im Fall von Abbildungen ist die Definition des Chaos als »Konstruktion einer irreduziblen Darstellung« der üblichen Definition durch »Empfindlichkeit gegenüber Anfallgsbedingungen« äquivalent. Doch es gibt Unterschiede. Erstens geht es bei der üblichen Definition um eine Beschreibung durch Trajektorien; es ist eine »negative» Definition, während die von uns eingeführte Definition »positiv« ist und auf der Konstruktion einer neuen Art von Beschreibung basiert. Zweitens läßt sich unsere Definition auf dynamische Systeme ausdehnen, auf die die übliche Definition des Chaos nicht anwendbar ist, das heißt auf Quantensysteme. Diese Schwierigkeit hat zu zahlreichen Diskussionen über das Quantenchaos geführt, in denen sogar seine Existenz angezweifelt wurde. Deshalb werden wir, wenn wir uns nun Hamiltonschen Systemen zuwenden, vor allem die Quantenmechanik im Auge behalten.
Die Systeme, die wir betrachten werden, sind nichtintegrabel im Sinne Poincarés (siehe 6.Kapitel), es sind, genauer gesagt, »große Poincaré-Systeme« (GPS) mit stetigem Spektrum. Mit GPS befassen wir uns deshalb, weil wir in ihrem Fall inzwischen Methoden kennen, mit denen Poincarés Divergenzen - er sah darin bekanntlich das »Hauptproblem der Dynamik« - eliminiert werden können. Wir gelangen dann zu einer ganz anderen Formulierung der Dynamik, bei der die Brechung der zeitlichen Symmetrie und die Irreversibilität einbezogen sind. Das war zu erwarten: Im 6.Kapitel, Abschnitt 4, haben wir gesehen, daß Resonanzen zu Chaos und Diffusion führen (was einem irreversiblen Prozeß entspricht). Der neue Aspekt ist nun, daß wir für GPS eine exakte mathematische Theorie angeben können, die ganz ähnlichen Linien folgt wie jene, die wir für Abbildungen vorgetragen haben104. Im Rahmen dieses Buches ist es nicht möglich, diese Theorie darzustellen105. Wir werden uns daher im wesentlichen auf intuitive Argumente beschränken.
Der einfachste Weg, die Poincaréschen Divergenzen zu eliminieren, besteht darin, die schon in der Bäcker-Transformation deutlich werdende Doppelrolle der Zeit zu berücksichtigen. Einerseits haben wir die »Uhr«zeit, welche die »regelmäßigen Zeitintervalle« bestimmt, in denen wir die Transformation durchführen. Andererseits wurde schon im 5.Kapitel durch die Unterscheidung zwischen »schrumpfenden« und »sich dehnenden« Fasern eine Unterscheidung zwischen Zukunft und Vergangenheit eingeführt. Diese Unterscheidung lag der im 9.Kapitel beschriebenen Brechung der zeitlichen Symmetrie des Entwicklungsoperators zugrunde. In Abschnitt 2 stoßen wir auf eine ähnliche Unterscheidung, den bekannten Unterschied zwischen »avancierten« und »retardierten« Lösungen für die Wellengleichungen. Die Bedeutung dieser »zeitlichen Anordnung« werden wir am Beispiel des Friedrichs-Modells und der Streuung zeigen.
Die Elimination der Poincaréschen Divergenzen ist ein grundlegender Schritt bei der Konstruktion einer irreduziblen probabilistischen Beschreibung. Eine wesentliche Rolle spielt ein zweites Element, die Existenz von dauerhaften Wechselwirkungen. In der Physik pflegt man mit einer Idealisierung zu arbeiten, die die Wechselwirkung isoliert von allem Vorangegangenen und allem Nachfolgenden betrachtet. Dies entspricht den Versuchsbedingungen bei Streuversuchen (siehe Abschnitt 2). Bei Situationen, wie sie die kinetische Theorie untersucht, bei wechselwirkenden Feldern und in der Kosmologie ist diese Idealisierung jedoch unzulässig. Wechselwirkungen sind von unbegrenzter Dauer. Zeitlich begrenzte Wechselwirkungen bilden die Ausnahme, während die meisten physikalisch relevanten Situationen durch dauerhafte Wechselwirkungen charakterisiert sind. Dauerhafte Wechselwirkungen sind eine Grundbedingung für eine alternative Formulierung der klassischen und der Quantenmechanik, die es direkt mit Wahrscheinlichkeiten zu tun hat.
Die Existenz einer solchen alternativen Formulierung hat fundamentale Konsequenzen. In erkenntnistheoretischer Hinsicht lösen wir das Quantenparadox, da wir auf diese Weise eine Quantentheorie erhalten, die nicht länger dem Beobachter eine aktive Rolle zuschreibt (siehe 7.Kapitel). In operationaler Hinsicht erhalten wir Lösungen von klassischen und quantenmechanischen Problemen, die auf der Grundlage der Newtonschen Gesetze beziehungsweise der Schrödinger-Gleichung wegen Poincarés Nichtintegrierbarkeit unerreichbar waren. Die Situationen, die nunmehr einer exakten dynamischen Beschreibung zugänglich sind, haben eine zentrale Bedeutung für unsere Naturbeschreibung. Lösungen unserer irreduziblen, probabilistischen Beschreibungen entsprechen nämlich der Annäherung an das thermodynamische Gleichgewicht. Außerdem führt die zeitliche Entwicklung zu kinetischen Gleichungen, die in der statistischen Mechanik eingeführt wurden.
Aus unserem Ansatz folgt somit eine direkte Verknüpfung sowohl des Gleichgewichts als auch der Dynamik mit der Physik der dissipativen Prozesse einschließlich der dissipativen Strukturen.