Die Doppelrolle der Zeit

Gehen wir von einem einfachen Problem aus, der Potentialstreuung¹⁰⁶. Wir richten einen Teilchenstrahl auf ein Objekt. Während einer langen Zeit vor dem Stoß bewegt sich dieser Strahl frei. Dies ist die »Vor-Streuungs-Phase«. Stöße finden in endlicher Zeit statt. Nach dem Stoß bewegt sich der Strahl erneut während langer Zeiten frei: Dies ist die »Nach-Streuungs-Phase«. Der einfallende Strahl wird von einer Wellenfunktion mit einem Impuls k beschrieben (genauer gesagt, handelt es sich um ein Wellenpaket mit einer Impulsverteilung um k). Infolge der Streuung treten Wellenamplituden auf, die einem Impuls k' entsprechen. Schon in diesem Fall treten Poincarésche Divergenzen auf, die auf Resonanzen beruhen, wobei die Energie ist, die dem Impuls k entspricht. Hier vermag die herkömmliche Quantentheorie das Problem zu lösen. Dafür wird eine geeignete zeitliche Anordnung der Ereignisse eingeführt. Bei Streuversuchen haben wir eine einlaufende ebene Welle (den Teilchenstrahl mit dem Impuls k), die in eine auslaufende Kugelwelle transformiert wird (siehe Abb. 10.1). Aus der Sicht der Dynamik wäre ebensogut der umgekehrte Fall möglich: Aus einer einlaufenden Kugelwelle wird durch Streuung eine auslaufende ebene Welle (siehe Abb. 10.2). Dies entspräche einer »inversen Streuung«. In der Natur beobachten wir nur direkte Streuungsvorgänge, doch die dynamischen Gleichungen beschreiben zwei Situationen mit unterschiedlicher zeitlicher Anordnung.

Abb. 10.1 Direkte Slreuung: Die ebene Welle wird in eine Kugelwelle umgewandelt.

Der erste Schritt besteht in der Eliminierung der Poincaréschen Divergenzen, die aus den verschwindenden Nennern resultieren (siehe 5.Kapitel). Hierbei spielen die Eigenschaften von GPS eine wesentliche Rolle. Die Streuung entspricht bereits einem GPS, da das Target und der Strahl in ein großes Volumen eingeschlossen sind (in der Streutheorie geht man an einem bestimmten Punkt zum Grenzwert eines unendlichen Volumens über). Deshalb haben wir ein stetiges Spektrum, und ist eine stetige Funktion von k. Wir können dann den Nenner durch Hinzufügen eines kleinen Imaginärteils »regularisieren«. Wir haben es dann mit zu tun, was in Verbindung mit der Integration (über k oder k') eine wohldefinierte Bedeutung hat. Auf diese Weise können wir; je nachdem, ob wir oder wählen, außerdem zwischen direkter und inverser Streuung unterscheiden. Der entscheidende Punkt ist, daß wir durch die Einführung der komplexen Größen je eine zeitliche Anordnung erhalten und das Divergenzproblem eliminieren können.

Abb. 10.2 Inverse Streuung: Die Kugelwelle wird in eine ebene Welle umgewandelt.

Wir sehen, daß die Zeit hier auf zweierlei Weise hineinkommt: zum einen wie üblich als Parameter in der Schrödinger-Gleichung, zum anderen durch die Einführung einer zeitlichen Anordnung. Diese zeitliche Anordnung wird in unserem Ansatz eine wesentliche Rolle spielen. Wir benötigen sie, um die Richtung der Zeit mit dynamischen Prozessen verknüpfen zu können. Wir sind dieser Situation schon im 5.Kapitel bei der Bäcker-Transformation begegnet. Dort hing der Fluß der Zeit mit der sich dehnenden Koordinate zusammen. Hier hängt der Übergang »ebene WelleKugelwelle« mit der Zukunft, der Übergang »Kugelwelleebene Welle« mit der Vergangenheit zusammen.

Schon in dieser einfachen Situation haben wir ein bemerkenswertes Resultat. Die zeitlich symmetrische Schrödinger-Gleichung führt zu zwei Klassen von Lösungen, die der direkten beziehungsweise der inversen Streuung entsprechen. Die Lösung der Bewegungsgleichungen ist weniger symmetrisch als die Bewegungsgleichungen selbst. Die Irreversibilität, die sich darin äußert, daß wir in der Natur keine inverse Streuung antreffen, hängt mit der Brechung der zeitlichen Symmetrie und der Auswahl einer einzigen Klasse von Lösungen zusammen.

Im Fall der Streuung ist dies ganz offenkundig. Wir können die Symmetriebrechung unterschiedlichen »Randbedingungen« zuschreiben, die zu den Bewegungsgleichungen hinzutreten. So einfach verhält es sich jedoch nicht mehr bei nicht integrablen Systemen wie den GPS. Hier sind, wie wir sehen werden, Bewegungsgleichungen und »Randbedingungen« unauflöslich miteinander verflochten. Um ein Beispiel anzuführen, wenden wir uns erneut dem Friedrichs-Modell zu.