Das Friedrichs-Modell

Wir haben das Friedrichs-Modell bereits im 7.Kapitel, Abschnitt 5, diskutiert. Es ist ein vereinfachtes Modell, das die Wechselwirkung zwischen einem Teilchen und einem Feld beschreibt (siehe Abb. 7.4). Die potentielle Energie enthält sowohl Photonenemissions- (der angeregte Zustand 1> geht unter Emission eines Photons in den Grundzustand 0> über) als auch Photonenabsorptionsvorgänge. Diese beiden Prozesse gehen außerdem symmetrisch in ein. Bei der Lösung des Eigenwertproblems müssen wir daher beide Prozesse berücksichtigen. Friedrichs hat, wie wir gesehen haben, das Eigenwertproblem gelöst und die spektrale Darstellung des Hamilton-Operators allein durch die Feldmoden erhalten. Das Atom verschwindet dabei ganz und gar. Wie kann man dann von Quantenübergängen sprechen? Wenn wir andererseits am Teilchen festhalten und Störungsverfahren anwenden, landen wir bei Poincaréschen Divergenzen.

Um diesem Dilemma zu entgehen, müssen wir eine zeitliche Anordnung einführen, um zwischen Abregung und Anregungsvorgängen zu unterscheiden, sowie wir die direkte von der inversen Streuung unterscheiden müssen. Trotz der Symmetrie des Hamilton-Operators wissen wir aus der Erfahrung, daß das Atom langfristig das Photon emittieren und sich im Grundzustand befinden wird. Diese Tatsache müssen wir in den Störungsformalismus einbauen. Dort stoßen wir bei jedem Schritt auf den resonanten Nenner , und in jedem Fall müssen wir unterscheiden, ob dieser Nenner mit Anregungs- oder mit Abregungsvorgängen verbunden ist. Wir müssen, anders gesagt, bei jedem Schritt entsprechende Randbedingungen einführen. Wir fügen zu diesem Zweck wie bei der Streuung einen Imaginärteil beziehungsweise in den Nenner ein. Abregungs- oder Zerfallsprozesse sind »zukunftsorientiert« (da sie die langfristige Folge der Wechselwirkung sind), während Anregungsprozesse »vergangenheitsorientiert« sind. Wir ersetzen, genauer gesagt, durch für Übergänge, die der Abregung des Atoms entsprechen, und durch für den Anregungsprozeß. Auf diese Weise können wir das Eigenwertproblem lösen und dabei jegliche Divergenzen vermeiden¹⁰⁷. Das wichtigste Resultat besteht darin, daß wir einen komplexen Eigenwert erhalten, wobei die modifizierte Energie des angeregten Niveaus und die Lebensdauer des angeregten Zustands ist. Für die Feldmoden erhalten wir in der Friedrichs-Lösung reelle Eigenwerte .

Unsere zeitliche Anordnung vermeidet die Poincaréschen Divergenzen und führt zu einer komplexen spektralen Theorie (genau wie bei den Abbildungen). Der Operator H ist hermitesch. Wir wissen daher (siehe 7.Kapitel, Abschnitt 4), daß seine Eigenwerte im Hilbert-Raum reell sind. Unser Resultat bezieht sich daher, wie im 9.Kapitel, auf generalisierte Räume. Tatsächlich ist eine singuläre Funktion (genaugenommen ist es eine Funktion mit einem komplexen Argument).

Die dem instabilen Teilchen entsprechende Wellenfunktion ist durch eine gebrochene zeitliche Symmetrie charakterisiert: Unter Verwendung der Schrödinger-Gleichung erhalten wir , welches für verschwindet (während es für das heißt die Vergangenheit, divergieren würde).

Weil das ursprüngliche Friedrichs-Modell zeitlich symmetrisch ist (es enthält sowohl die Zerfalls- als auch die Anregungsprozesse, die mit dem instabilen Zustand zusammenhängen), erhalten wir zusätzlich zu den Wellenfunktionen eine weitere Menge von Wellenfunktionen , deren Eigenfunktionen den komplexkonjugierten Eigenwerten entsprechen. Da ist, haben wir . Dann entspricht einem zerfallenden Zustand in der Zukunft, während einem Zustand entspricht, der für verstärkt wird: .

Die Eigenfunktionen ( oder k) und bilden eine vollständige biorthonormale Menge, genau wie bei der im 9.Kapitel, Abschnitt 2, untersuchten Bernoulli-Transformation: ist gleich 1 für und gleich 0 für . Bezüglich dieser biorthonormalen Menge haben wir die spektrale Darstellung .

Wir haben somit, wie im Fall der Bäcker-Transformation (9.Kapitel, Abschnitt 3), mehr als eine spektrale Darstellung: die von Friedrichs gegebene spektrale Darstellung im Hilbert-Raum (7.Kapitel) und die von uns abgeleitete komplexe spektrale Darstellung¹⁰⁸.

Es ist interessant, diese beiden Lösungen miteinander zu vergleichen. Die wichtigsten Unterschiede sind: 1. Unsere spektrale Darstellung hält an dem angeregten Zustand fest, während in der traditionellen Friedrichs-Lösung nur die Moden der Felder (bzw. Photonen) vorkommen; die komplexe spektrale Darstellung enthält daher »Quantensprünge«, während in der Friedrichs-Darstellung die Teilchen von vornherein als Bestandteil des Feldes erscheinen. 2. Wir erhalten den komplexen Eigenwert , der die Lebensdauer des angeregten Zustands berücksichtigt. Die komplexe spektrale Darstellung ist somit reicher, da sie dissipative Prozesse einbezieht. 3. Unsere Lösung ist analytisch in der Kopplungskonstanten : Für verwandelt sie sich ohne weiteres in die Lösung des ungestörten Problems. Es gibt keine spektrale »Katastrophe«.

Kommen wir noch einmal auf das Hauptergebnis unserer Methode zurück, die Brechung der zeitlichen Symmetrie. Wir haben, wie gezeigt wurde, zwei orthonormale Mengen: die , die einem gedämpften angeregten Zustand in der Zukunft entsprechen, und die , die einer Verstärkung in der Zukunft entsprechen. Die Lösung der Bewegungsgleichungen ist weniger symmetrisch als der Hamilton-Operator. Dieser Situation sind wir schon bei der Streuung begegnet (Abschnitt 1). Sie kommt häufig vor, in der Physik des Gleichgewichts wie in der des Nichtgleichgewichts. In der Physik des Gleichgewichts geht sie mit einer »spontanen Symmetriebrechung« einher. Ein bekanntes Beispiel ist der Magnetismus: Ein rotationssymmetrischer Hamilton-Operator kann einen isotropen ferromagnetischen Grundzustand haben oder bei niedriger Temperatur zu einem anisotropen Kristall führen. In der Physik des Nichtgleichgewichts können Verzweigungen ebenfalls zu Lösungen führen, die weniger symmetrisch sind als die Gleichungen, von denen wir ausgehen (so kann die Symmetrie bezüglich der räumlichen Inversion gebrochen werden). Aus der Symmetrie der Gleichungen folgt dann, daß die Lösungen mit gebrochener Symmetrie paarweise auftreten. Diese Analogien haben jedoch ihre Grenzen, da die Brechung der zeitlichen Symmetrie keinem physikalischen Ereignis entspricht (beim Magnetismus entspricht sie allerdings einer Schwellentemperatur). Im übrigen tritt der gleiche Pfeil der Zeit in allen dynamischen Systemen auf.

Da die Zustände und eine gebrochene zeitliche Symmetrie aufweisen, ist es möglich, eine H-Funktion im Sinne Boltzmanns (siehe 8.Kapitel) zu konstruieren, das heißt eine Funktion, die monoton abnimmt, bis das instabile Teilchen verschwunden ist¹⁰⁹. Diese H-Funktion ist jedoch etwas ganz anderes als die von Boltzmann beziehungsweise Gibbs eingeführten H-Funktionen. Hier drückt die H-Funktion die Brechung der zeitlichen Symmetrie auf der fundamentalen mikroskopischen Ebene aus.

Man darf den Zerfall des instabilen Teilchens indessen nicht mit einer Annäherung an das Gleichgewicht verwechseln. Das Atom »altert«, wenn es zerfällt, doch die Energie des Teilchens wird einfach auf das sich im Raum ausbreitende Feld übertragen. Um eine Annäherung an das Gleichgewicht zu erhalten, benötigen wir dauerhafte Wechselwirkungen. Ein Beispiel werden wir in Abschnitt 5 geben.

Es sei auch darauf hingewiesen, daß unsere Regel der »zeitlichen Anordnung« in diesem einfachen Fall nicht die einzige Methode ist, um zu einer spektralen Darstellung mit gebrochener zeitlicher Symmetrie zu gelangen. Es stehen andere Methoden zur Verfügung, die vor allem auf G.Sudarshan¹¹⁰ zurückgehen und zu dem gleichen Ergebnis führen. Unsere Regel hat den Vorzug, daß sie sich leicht auf kompliziertere Situationen übertragen läßt, wie wir gleich sehen werden.