Irreduzible Darstellungen

Wie wir gerade gesehen haben, können wir bei einfachen Situationen wie dem Friedrichs-Modell die bei dynamischen Zuständen auftretenden Poincaréschen Divergenzen durch eine geeignete zeitliche Anordnung eliminieren. Generell ist das jedoch nicht auf diese Weise zu erreichen. Betrachten wir zum Beispiel die Streuung. Der Hamilton-Operator H enthält wiederum zwei Terme, einen ersten Term für freie Teilchen und als zweiten Term das Potential , das Übergängen zwischen verschiedenen Werten der Impulse entspricht.

Indem wir wieder auf die »bra-ket«-Schreibweise zurückgreifen, haben wir ; ist hier die dem Impuls k entsprechende Energie und . Die potentielle Energie induziert Übergänge zwischen den verschiedenen Zuständen . Die verschiedenen Zustände spielen die gleiche Rolle, und es gibt keine natürliche zeitliche Anordnung der Zustände, die im dynamischen Prozeß eingehen. Doch wie wir im 8.Kapitel gesehen haben, gibt es eine natürliche zeitliche Anordnung von Korrelationen.

Um Poincarésche Divergenzen zu eliminieren, müssen wir daher auf die Ensembletheorie zurückgreifen. Es zeigt sich, daß die fundamentale dynamische Beschreibung von GPS eine statistische Beschreibung mittels der Wahrscheinlichkeitsverteilung (beziehungsweise der Dichtematrix in der Quantenmechanik) ist. Wir haben im 8.Kapitel gesehen, daß die Liouville-von-Neumann-Gleichung erfüllt. Wir haben die formale Analogie zwischen dem Liouville-von-Neumann-Formalismus und der Schrödinger-Gleichung unterstrichen, wobei an die Stelle des Hamilton-Operators der Liouville-Operator L tritt.

L ist, wie wir gesehen haben, hermitesch, und der Entwicklungsoperator ist unitär. Im Hilbert-Raum sind die Eigenwerte von L reell. Es kann im Hilbert-Raum keine dynamische Theorie der Irreversibilität geben. Um die Irreversibilität einzubeziehen, müssen wir wie zuvor zu generalisierten Räumen übergehen. Da unsere zeitliche Anordnung jetzt aber durch Korrelationen hergestellt wird, die nur im Zusammenhang mit Ensembles einen Sinn haben, erwarten wir, eine irreduzible, probabilistische Beschreibung zu erhalten, die unter diesem Aspekt derjenigen ähnelt, die wir für Karten erhalten haben (siehe 9.Kapitel). Dies sind die Situationen, die wir mit dem Begriff des Chaos verbinden.

Wir möchten den Unterschied zwischen reduziblen und irreduziblen probabilistischen Beschreibungen ein wenig präzisieren.

Betrachten wir den Fall der Quantenmechanik. Die Liouville-Gleichung ist, wie wir gesehen haben, gegeben durch , wobei L der Liouville-von-Neumann-Operator ist. Wir möchten jetzt ein wenig weiter gehen und benötigen dazu die explizite Form von ; sie lautet . Der Liouville-Operator ist der »Kommutator« des Hamilton-Operators mit . Nehmen wir an, wir hätten das Eigenwertproblem für H gelöst. Die spektrale Darstellung ist dann , wobei die Eigenfunktionen und die Eigenwerte sind. Die Definition von L führt daher zu der Schlußfolgerung, daß die Eigenfunktionen von L Produkte der Eigenfunktionen von H und die entsprechenden Eigenwerte Differenzen von Energieniveaus sind. Die Liouville-Darstellung ist dann, da sie keine neuen Merkmale einführt, auf eine Beschreibung durch Wellenfunktionen reduzierbar.

Wir können auch die spektrale Darstellung von L schreiben. Definieren wir ; L ist dann Man beachte, daß alle verschwinden. Dies führt zu der schon im 8.Kapitel erwähnten Tatsache, daß alle diagonalen Elemente der Dichtematrix im Zeitverlauf konstant bleiben. Es gibt folglich für integrable Systeme keine Annäherung an das Gleichgewicht.

Wir möchten nun zeigen, wie die irreduziblen Louville-Darstellungen aus der zeitlichen Anordnung auf der Ebene der Korrelationen hervorgehen. Wir gehen ganz ähnlich vor wie in Abschnitt 3 beim Friedrichs-Modell.

Wie bereits angedeutet, ist der Louville-Operator für GPS von der Form . Wir möchten nun die Eigenfunktionen und die Eigenwerte von L haben, die analytisch in L sind, die wir also in Potenzen von entwickeln können.

Betrachten wir zunächst den ungestörten Liouville-Operator . Wir haben dann ein integrables System, und bei solchen Systemen entwickeln sich die Korrelationszustände (das Korrelationenvakuum , binäre Korrelationen ) unabhängig voneinander; da bei integrablen Systemen kein Fluß der Korrelationen besteht. Die verschiedenen Korrelationszustände entsprechen unabhängigen Eigenfunktionen und Eigenwerten. Das Eigenwertproblem für den ungestörten Liouville-Operator kann dann geschrieben werden als , wobei den Korrelationszustand bezeichnet. Für einen gegebenen Korrelationszustand existiert im allgemeinen mehr als eine Eigenfunktion, und wir würden daher den Index benötigen. Zur Vereinfachung der Schreibweise verzichten wir jedoch auf dieses und schreiben . Die Eigenwerte sind reell und entsprechen Energiedifferenzen. Wie zuvor in diesem Abschnitt ist ein Produkt von Wellenfunktionen.

Betrachten wir jedoch das Eigenwertproblem, das dem vollständigen Liouville-Operator entspricht, und entwickeln wir die Eigenfunktionen und die Eigenwerte in Potenzen von , so stoßen wir auf Poincarésche Divergenzen, die auf resonanten Nennern beruhen, wobei v' und v" sich auf zwei verschiedene Korrelationszustände beziehen, die durch gekoppelt sind. Wie beim Friedrichs-Modell greifen wir auf das komplexe Eigenwertproblem zurück. Um dieses Eigenwertproblem zu lösen, gehen wir über zur zeitlichen Anordnung der einzelnen dynamischen Prozesse, nunmehr im Liouville-Raum. Wir fügen in den Nenner einen kleinen komplexen Teil ein. Wir nehmen mit , wenn der Grad der Korrelation v' höher als (oder gleich) v" ist (das bedeutet, daß Übergänge von niedrigeren Korrelationen v" zu höheren Korrelationen v' verlaufen), und , wenn er niedriger ist. Diese Wahl des Imaginärteils bedeutet, daß Übergänge zu Korrelationen höheren Grades als »zukunftsorientiert«, Übergänge zu solchen niedrigeren Grades als »vergangenheitsorientiert« betrachtet werden¹¹¹. Im Unterschied zu Abschnitt 3 bezieht sich diese Regel nicht auf Energieniveaus, sondern auf die Eigenwerte von , die, wie wir gesehen haben, Energiedifferenzen sind.

Wir erhalten wieder die gleiche Situation wie zuvor. Während das reelle Eigenwertproblem für L zu den Poincaréschen Divergenzen führt, kann das komplexe Eigenwertproblem gelöst werden. Auch hier zeigen die Poincaréschen Divergenzen an, daß man eine dissipative, statistische Beschreibung benötigt.

Die spektrale Darstellung, die wir erhalten, ist im allgemeinen irreduzibel. Im Rahmen der Quantenmechanik bedeutet dies, daß die komplexen Eigenwerte des Liouville-Operators, , nicht als Differenzen von Eigenwerten des Hamilton-Operators ausgedrückt werden können, wie es bei einer reduziblen Darstellung möglich wäre.

Auch sind die Eigenfunktionen nicht länger Produkte von Wellenfunktionen. Dies bedeutet ein radikales Abgehen von der orthodoxen Quantentheorie. Wir erhalten Lösungen für die Liouville-von-Neumann Gleichung, die aus der Schrödinger-Gleichung nicht abgeleitet werden könnten. Wir dürfen daher von einer alternativen Quantentheorie sprechen.

Unsere Argumente sind auf die klassische Dynamik übertragbar. Auch hier erhalten wir Lösungen (Wahrscheinlichkeitsverteilungen), die aus Newtons Gleichungen oder aus irgendeiner Gleichung, die sich auf individuelle Trajektorien bezieht, nicht abgeleitet werden könnten.

Die mathematische Struktur; die wir erhalten, ist der des in Abschnitt 2 betrachteten generalisierten Hilbert-Raums ganz ähnlich. Wieder haben wir zwei Mengen von Eigenfunktionen: die Funktionen , die Eigenwerten entsprechen, die in der Zukunft gedämpft sind, und die Funktionen , die Eigenwerten entsprechen, die in der Vergangenheit gedämpft sind. Wieder ist die Lösung weniger symmetrisch als die Gleichungen, von denen wir ausgehen. Die Menge der Funktionen und bildet auch hier eine biorthonormale Menge. Wir können daher die irreduzible spektrale Zerlegung von L hinschreiben: . Für Wahrscheinlichkeitsverteilungen (die, da wir es mit generalisierten Räumen zu tun haben, Prüffunktionen sein müssen) können wir schreiben: mit . Die zeitliche Entwicklung von ist ausgedrückt als eine Überlagerung von zerfallenden Moden.

Die komplexe spektrale Darstellung, die wir abgeleitet haben, gestattet uns, Observable wie Lebensdauern und Streuquerschnitte in die Eigenwerte von L einzubeziehen. Ein Beispiel dafür im nächsten Abschnitt. Für GPS nimmt die Dynamik generell eine völlig neue Form an, und sie verleiht kinetischen Gleichungen (wie der Boltzmann-Gleichung oder der mit der Brownschen Bewegung zusammenhängenden Fokker-Planck-Gleichung) eine exakte mathematische Bedeutung.

Die vielleicht wichtigste Neuerung ist, daß die irreduzible Darstellung von jetzt die Annäherung an das Gleichgewicht beschreibt. Asymptotisch (für ) verschwinden alle Moden, ausgenommen diejenigen, die 0 Eigenwerten entsprechen, ungeachtet der Ausgangsbedingung. Wir können gleichfalls, wie in Abschnitt 2 für das Friedrichs-Modell, eine H-Funktion definieren, die monoton abnimmt, bis das System das Gleichgewicht erreicht.

 Wir haben in diesem Abschnitt einen »intuitiven« Ansatz benutzt, bei dem die Ableitung der irreduziblen spektralen Darstellungen auf der zeitlichen Anordnung des Flusses der Korrelationen beruht. Ein mathematisch strenges Verfahren ist kürzlich entwickelt worden¹¹². Es beruht auf der Beobachtung, daß der Fluß der Korrelationen in Systemen mit dauerhaften Wechselwirkungen auftritt. Für solche Systeme besitzt die Dichte Singularitäten (ein Beispiel werden wir in Abschnitt 5 sehen), die uns, genau wie im Fall der Abbildungen, zwingen, die Hilbert-Raum-Beschreibung zu verlassen, und zu einer irreduziblen komplexen spektralen Darstellung führen.

Wenden wir uns nun einem Beispiel zu.