Die Leugnung der Zeit

Damit stand Boltzmann vor einer dramatischen Situation. Er war überzeugt, daß man die Natur nur verstehen könne, wenn man evolutionäre Erscheinungen berücksichtigt, und daß die durch den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik gegebene Irreversibilität ein entscheidender Schritt in diese Richtung sei. Zugleich war er aber der großen Tradition der Dynamik verpflichtet, und er erkannte, daß diese Tradition seinem Bemühen, dem »Pfeil der Zeit« eine mikroskopische Bedeutung zu geben, im Wege stand.

Das Drama Boltzmanns, der zwischen seiner Uberzeugung, die Physik müsse das Werden verstehen, statt es zu leugnen, und seiner Treue zur physikalischen Tradition wählen mußte, erscheint uns im Rückblick besonders schmerzlich. Einerseits erscheint es heute geradezu evident, daß er mit seinem Bemühen scheitern mußte; jeder Physikstudent weiß heute, daß eine Trajektorie reversibel ist, daß sie keine Unterscheidung zwischen Zukunft und Vergangenheit erlaubt. Die Irreversibilität mit reversiblen Prozessen, und seien sie noch so zahlreich, erklären zu wollen ist also, wie Poincaré¹² bemerkte, ein Fehler, den schon die Logik verbietet. Andererseits hatte Boltzmann die richtige Intuition. Es besteht nämlich, wie wir noch sehen werden, ein wesentlicher Unterschied zwischen individuellen stabilen Trajektorien und Systemen kollidierender Teilchen, die nach der schon in der Einleitung erwähnten Einteilung Poincarés nichtintegrable Systeme darstellen. Es ist ein betrübliches Paradox der Wissenschaftsgeschichte, daß Poincaré, dessen Werk für die moderne Chaostheorie von grundlegender Bedeutung ist, sich entschieden gegen Boltzmanns Auffassung aussprach. Doch die Zeit war noch nicht reif. Um die revolutionären Vorstellungen Boltzmanns anerkennen zu können, mußte sich erst unser Verständnis der Dynamik grundlegend wandeln, und diesen Wandel konnte Boltzmann nicht vorhersehen.

Mit dem Scheitern Boltzmanns wurden die radikalen Implikationen der klassischen Dynamik, insbesondere die Leugnung des Pfeils der Zeit, erstmals deutlich. Warum mußten nach der Schaffung der Dynamik fast 200Jahre vergehen, bis man zu dieser Erkenntnis gelangte? Wie konnte Boltzmann mit der Mehrheit seiner Zeitgenossen hoffen, der Irreversibilität eine dynamische Bedeutung zu geben? Warum haben sie nicht von Anfang an »gesehen«, was uns heute so evident erscheint, daß nämlich die grundlegenden Gesetze der klassischen Dynamik die zeitliche Reversibilität einschließen, also die vollkommene Äquivalenz zwischen beiden Richtungen der Zeit - der vorwärtsgerichteten, die unsere Zukunft festlegt, und der entgegengesetzten, die wir uns vorstellen, wenn wir von einem System sagen, daß es in seinen Anfangszustand »zurückkehrt«? Tatsächlich wurde ja von der klassischen Dynamik, die seit dem 17.Jahrhundert das Paradigma der Wissenschaft schlechthin war, implizit die radikale Leugnung der Zeit postuliert. Es ist ein Beleg für den paradoxen Charakter dieser Leugnung, daß sie bis zu Boltzmanns Scheitern nie explizit ausgedrückt wurde. Keiner der großen Philosophen, sei es nun Leibniz oder Kant, die die Dynamik als Muster menschlicher Rationalität anerkannten, hatte je gewagt, diese Implikation auszusprechen oder auch nur ins Auge zu fassen.

Es muß betont werden, daß die Idee der dynamischen Reversibilität etwas nahezu Unvorstellbares ist. Seit jeher haben die Frage der Zeit und die Frage was sie bewahrt, schafft und zerstört, die Menschen beschäftigt. Gewiß haben mystische Lehren geleugnet, daß diese wandelbare und ungewisse Welt Realität besitze, und eine Existenz, die es erlauben würde, dem Leiden des Daseins zu entrinnen, als Ideal hingestellt. Auch war die Vorstellung von einer zirkulären Zeit, die periodisch zu ihren Ursprüngen zurückkehrt, in der Vergangenheit sehr verbreitet. Die Mystiker haben jedoch nie behauptet, positive Naturerkenntnis zu lehren, und Vorstellungen von einer »ewigen Wiederkehr«, inspiriert vom Rhythmus der Jahreszeiten oder der Abfolge menschlicher Generationen, sind offenkundig von einem Pfeil der Zeit geprägt. Bis zum Ende des 19.Jahrhunderts hat es in der ganzen Menschheitsgeschichte kein Gedankengebäude gegeben, das behauptet hätte, es gebe eine Äquivalenz zwischen einer Pflanze, die wächst, blüht und verwelkt, und einer Pflanze, die wieder auflebt, sich verjüngt und wieder zu dem ursprünglichen Samen wird, oder zwischen einem Menschen, der heranreift und lernt, und einem Menschen, der im Laufe der Zeit wieder Kind, dann Embryo und schließlich zu einer einzelnen Zelle wird.

Das Gedankenschema, dank dessen die Dynamik die Zeit in eine mathematische Beschreibung einbeziehen konnte, implizierte dagegen die Äquivalenz von Vergangenheit und Zukunft. Das Prinzip, von dem Galilei, Huyghens und ihre Nachfolger sich leiten ließen und das seine explizite Formulierung durch Leibniz erführ, ist der »Satz vom zureichenden Grunde«, wie Leibniz ihn nannte¹³. Es besagt, daß in der Natur die »volle« Ursache einer Veränderung ihrer »ganzen« Wirkung äquivalent sei. Der Satz vom zureichenden Grunde war bis hin zu Boltzmann immer als eine deterministische Verknüpfung zwischen Ursache und Wirkung verstanden worden. Er behauptet jedoch sehr viel mehr. Wir kennen eine Vielzahl von deterministischen kausalen Beschreibungen, die nicht diesem Satz entsprechen. So beschreibt das »Fonriersche Gesetz« den durch einen Temperaturunterschied bedingten Prozeß der Wärmeleitung. Bei diesem Prozeß wird jedoch wie bei allen Entropie erzeugenden Prozessen nicht eine »Ursache« in Gestalt ihrer Wirkungen erhalten, sondern diese Ursache verschwindet immer mehr. Wenn nämlich der Prozeß der Warmeleitung beendet ist, hat sich der Temperaturunterschied nach und nach ausgeglichen, ohne jedoch eine Wirkung erzeugt zu haben, die ihm äquivalent wäre, die also genutzt werden könnte, um den ursprünglichen Temperaturunterschied wiederherzustellen.

Die Äquivalenz zwischen Ursache und Wirkung, wie sie der Satz vom zureichenden Grunde behauptet, ist für die Dynamik keine Nebensächlichkeit, sondern ihr Ausgangpunkt. Als er das erste Gesetz der modernen Physik, das Fallgesetz, formulierte, postulierte Galilei, daß ein Körper, der ohne Reibung eine schiefe Ebene hinabrollt, gerade so viel Geschwindigkeit gewinnt, um wieder seine ursprüngliche Höhe zu erreichen. Was verlorengeht, die Höhe, wird durch das, was gewonnen wird, die Geschwindigkeit, voll ausgeglichen. Huyghens verallgemeinerte diese Überlegung und bestimmte die beiden Glieder der Äquivalenz: Das, was ein Körper bei seinem Fall gewinnt, wird gemessen durch das Quadrat der Geschwindigkeit, die er erlangt (wir schreiben heute mgh = , wobei m die Masse des Körpers, h die verlorene beziehungsweise gewonnene Höhe, g die Gravitationsbeschleunigung und die gewonnene beziehungsweise verlorene Geschwindigkeit ist).

Die Geschichte der Dynamik hat - von Galilei bis hin zu Lagrange und Hamilton - die Auffassung von Leibniz bestätigt, daß die Äquivalenz von »Ursachen« und »Wirkungen« der Ariadnefaden der Dynamik sei. Erst mit Loschmidts Einwand gegen Boltzmanns H-Theorem, seinem »Paradox der Geschwindigkeitsumkehr«, wurde explizit anerkannt, daß diese Äquivalenz die Äquivalenz von Vergangenheit und Zukunft impliziert. Loschmidt argumentiert folgendermaßen: Stellen wir uns vor, die Geschwindigkeiten aller Teilchen eines Gases würden zu einem gegebenen Zeitpunkt umgekehrt. So wie der Körper auf Galileis schiefer Ebene, die er herabgerollt ist, wieder hinaufrollt und seine ursprüngliche Höhe wiedergewinnt, wird auch die Entwicklung des Gases bewirken, daß jedes Molekül sich in genau entgegengesetzter Richtung bewegt, und das Gas wird in seinen Ausgangszustand zurückkehren. Stöße werden erneut das hervorbringen, was durch Stöße zerstört wurde. Loschmidts Einwand zufolge kann die durch Stöße hervorgerufene Entwicklung nicht wirklich irreversibel sein. Es besteht kein wesentlicher Unterschied zwischen einem Gas, das sich auf das Gleichgewicht hin entwickelt, und einem Gas, das sich vom Gleichgewicht fortentwickelt.

Boltzmann hatte die thermodynamische Irreversibilität dynamisch erklären wollen, aber die Grundprinzipien der Dynamik verurteilten sein Bemühen zum Scheitern, da den Entwicklungen, bei denen die Entropie zunimmt, kein Vorzug eingeräumt werden konnte. Der Dynamik zufolge besitzt jeder mit einer Entropiezunahme verbundene Prozeß als Gegenstück einen äquivalenten, umgekehrten Prozeß, bei dem die Entropie abnimmt. Der einzige Unterschied hängt demnach, wie wir noch sehen werden, von den Anfangsbedingungen ab. Die Dynamik erklärt jedoch nicht, warum wir in der Natur wie in unseren Labors nur solche Anfangsbedingungen antreffen beziehungsweise herstellen können, die zum Gleichgewicht hinführen.

Heute haben die Argumente, die Boltzmanns Bemühen scheitern ließen, an Gewicht verloren. Was ist eine »volle« Ursache, was ist eine »ganze« Wirkung, wenn wir es mit instabilen, chaotischen Systemen zu tun haben? Bei chaotischen dynamischen Systemen versagt der Begriff der Trajektorie nach einer charakteristischen Zeit (der Ljapunow-Zeit, auf die wir noch öfter zurückkommen werden). Was besagt dann noch Loschmidts Geschwindigkeitsumkehr? Mit dem bloßen Hinweis auf diese Schwierigkeit ist es jedoch nicht getan. Das klassische Schema muß modifiziert werden, um den neuen Erscheinungen des dynamischen Chaos Rechnung zu tragen.

Zuvor aber noch einmal zu der Situation, vor der Boltzmann stand. Er mußte sich entscheiden zwischen der Hoffnung, die Physik für die Zeitlichkeit zu öffnen, und seiner Loyalität gegenüber der klassischen Dynamik. Er wählte die Dynamik. Er ersetzte seine mikroskopische Interpretation des Zweiten Hauptsatzes durch eine probabilistische Interpretation, die mit unseren mangelhaften Kenntnissen zusammenhängt.

Bei komplexen Systemen, die aus einer riesigen Zahl von Molekülen (in der Größenordnung von bestehen, sei es ein Gas oder eine Flüssigkeit, können wir natürlich nicht das Verhalten jedes einzelnen Moleküls berechnen. Boltzmann machte deshalb die Annahme, daß alle mikroskopischen Zustände solcher Systeme, sowie sie von der Dynamik beschrieben werden, die gleiche A-priori-Wahrscheinlichkeit besitzen. Der Unterschied würde dann abhängen von dem makroskopischen Zustand, der durch Temperatur, Druck und andere makroskopische Parameter bestimmt wird. Boltzmann definierte die Wahrscheinlichkeit eines makroskopischen Zustands durch die Anzahl der mikroskopischen Zustände, die ihn entstehen lassen.

Stellen wir uns zum Beispiel einen Behälter vor, der in zwei gleich große, miteinander verbundene Abteilungen aufgeteilt ist und eine große Zahl, nennen wir sie N, von Molekülen enthält. Wir können nicht den Weg jedes einzelnen Moleküls verfolgen. Indem wir eine makroskopische Größe wie den Druck in einer Abteilung messen, können wir lediglich die Anzahl der in ihr vorhandenen Moleküle ermitteln. Wir können nun einen »Ausgangszustand«, wie die Physiker zu sagen pflegen, herstellen, in dem eine der beiden Abteilungen nahezu leer ist. Was werden wir wohl beobachten? Mit der Zeit wird die leere Abteilung von Molekülen bevölkert werden. Tatsächlich entspricht die große Mehrheit aller möglichen mikroskopischen Zustände einer makroskopischen Situation, in der beide Abteilungen die gleiche Anzahl von Molekülen enthalten. Dieser Zustand entspricht dem »Gleichgewicht«, bei dem der Druck in beiden Abteilungen gleich ist. Ist dieser Zustand erreicht, werden die Moleküle weiterhin von der einen Abteilung zur anderen übergehen, aber im Mittel werden ebenso viele Moleküle nach links wie nach rechts wandern. Bei geringfügigen kurzen Fluktuationen wird also die Anzahl der Moleküle in beiden Abteilungen zeitlich konstant und das Gleichgewicht erhalten bleiben. Eine spontane langfristige Abweichung vom Gleichgewicht ist nicht unmöglich, doch wäre sie, wie Boltzmann folgerte, »unwahrscheinlich«.

Boltzmanns wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation führt die von uns beobachtete Irreversibilität auf den »makroskopischen« Charakter unserer Beobachtungen zurück: Wer die Bewegung jedes einzelnen Moleküls verfolgen könnte, würde ein zeitlich reversibles System sehen, in dem jedes Molekül den Gesetzen der Newtonschen Physik gehorcht. Da wir nur die Anzahl der Moleküle in jeder Abteilung messen können, kommen wir zu dem Schluß, daß sich das System zum Gleichgewicht hin entwickelt. Nach dieser Interpretation ist die Irreversibilität kein grundlegendes Naturgesetz, sondern lediglich eine Folge des makroskopischen Charakters unserer Beobachtung.

Zermelo trug nach Loschmidts Umkehreinwand einen weiteren Einwand vor. Er führte ein von Poincaré formuliertes Theorem an, das »Wiederkehrtheorem«, dem zufolge wir, wenn wir nur genügend lange warten, die spontane Rückkehr eines dynamischen Systems in einen Zustand beobachten sollten, der dem Ausgangszustand beliebig nahe kommt. Der Physiker Smoluchowski folgerte daraus: »Würden wir unsere Beobachtung unendlich lange fortsetzen, so würden alle Prozesse reversibel erscheinen.«¹⁴ Für Boltzmanns Beispiel folgt daraus unmittelbar, daß die anfangs leere Abteilung nach hinreichend langer Zeit wieder leer sein wird. Die Irreversibilität ist nur ein »Schein« und ohne fundamentale Bedeutung.

Boltzmanns Interpretation hatte eine weitere Konsequenz: Die Irreversibilität der Prozesse, die wir ringsum beobachten, bedeutet, daß sich die Welt nicht in ihrem »wahrscheinlichsten« Zustand befindet, der dem berühmten »Wärmetod« entspräche, bei dem alle Unterschiede erzeugenden Prozesse zum Stillstand gekommen wären. Wir leben in einer »unwahrscheinlichen« Welt, und der »Pfeil der Zeit«, die Unterscheidung zwischen Vergangenheit und Zukunft, ist einfach die Konsequenz dieser Tatsache. Das, was wir »Natur« nennen, die Gesamtheit der miteinander verflochtenen Prozesse, die mit uns die gleiche Zukunft teilen, von der brennenden Sonne bis hin zu der wachsenden Pflanze und dem fliegenden Vogel, sind nur Erscheinungsformen eines und desselben Prozesses: des fortschreitenden Verschwindens der anfänglichen Abweichung vom Gleichgewicht.

Aber wie ist diese Abweichung vom Gleichgewicht, der die Natur und wir selbst die Existenz verdanken, zu erklären? Boltzmann formulierte das Problem folgendermaßen: »Man hat die Wahl zwischen zweierlei Vorstellungen. Man kann [...] annehmen, daß sich das gesamte Universum gegenwärtig in einem sehr unwahrscheinlichen Zustand befindet. Man kann sich aber auch die Äonen, innerhalb derer wieder unwahrscheinliche Zustände eintreten, winzig gegen die Dauer, die Siriusfernen winzig gegen die Dimensionen des Universums denken. Es müssen dann im Universum, das sonst überall im Wärmegleichgewicht, also tot ist, hier und da solche verhältnismäßig kleine Bezirke von der Ausdehnung unseres Sternenraums (nennen wir sie Einzelwelten) vorkommen, die während der verhältnismäßig kurzen Zeit von Äonen erheblich vom Wärmegleichgewicht abweichen, und zwar ebenso häufig solche, in denen die Zustandswahrscheinlichkeit [und daher die Entropie] [...] zu [nimmt wie solche, in denen sie] abnimmt. Für das Universum sind also beide Richtungen der Zeit ununterscheidbar; wie es im Raum kein oben oder unten gibt. [...] Diese Methode scheint mir die einzige, wonach man den 2. Hauptsatz, den Wärmetod jeder Einzeiwelt, ohne eine einseitige Änderung des ganzen Universums von einem bestimmten Anfangs gegen einen schließlichen Endzustand denken kann.«¹⁵

Das war Boltzmanns Schlußfolgerung. Sein Versuch, die Irreversibilität mit Hilfe der fundamentalen Gesetze zu erklären, war gescheitert. Der Zeitpfeil wurde zu einer kontingenten Tatsache und die Welt, die wir beobachten, reduziert auf eine lokale Fluktuation in einem Universum, das als Ganzes keine Richtung der Zeit kennt. In anderen Gebieten dieses Universums wurde die Entropie abnehmen, und man würde keine Entwicklung zum Gleichgewicht hin beobachten, weil die Regel gelten würde, daß mit der Zeit spontan Temperatur- und Druckunterschiede entstehen.

Man kann sich diese anderen, vom Gleichgewicht fortgetriebenen Welten kaum vorstellen: Was dort die Norm wäre, käme für uns einem »Wunder« gleich. Eine Flüssigkeit würde an einer Stelle gefrieren, an einer anderen zu sieden beginnen und so weiter¹⁶. Und das ist nicht die einzige Schwierigkeit. Wie sollen wir erklären, daß wir in unserer Welt nie einem solchen Verhalten begegnen, das einem Pfeil der Zeit entspricht, der dem unseren entgegengesetzt wäre? Die astronomische Beobachtung beschränkte sich Ende des 19.Jahrhunderts auf unsere eigene Galaxie. Inzwischen umfaßt die beobachtbare Welt Milliarden von Galaxien, und sie alle scheinen den Pfeil der Zeit mit uns zu teilen. Warum ist das gesamte beobachtbare Universum von einem einzigen Pfeil der Zeit gekennzeichnet?